수 리 영 역

정적분활용,넓이

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수 리 영 역

정적분활용,넓이

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년) 기출

단원 : 정적분활용, 넓이

성명			수험번호

16

정사각형 모양의 타일이 좌표평면에 오른쪽 그림과 같이 가로, 세로가 각각 [eqn: x``]축, [eqn: y``]축과 일치되게 놓여 있다. 이 타일에 [eqn: y=f`(x)]와 [eqn: y=g`(x)]의 그래프를 경계로 하여 파랑색과 노랑색을 칠하려고 한다. 파랑색과 노랑색이 칠해지는 부분의 면적의 비가 [eqn: 2```:```3]일 때, [eqn: int _{0} ^{15} {} f`(x)``dx]의 값을 구하여라.
(단, 함수 [eqn: g`(x)]는 함수 [eqn: f`(x)]의 역함수이다.)

[eqn: 45]

함수 [eqn: y =g(x)]가 함수 [eqn: y= f(x)]의 역함수이므로 영역은 위의 그림과 같이 분할되고 [eqn: int _{0} ^{15} {} f(x)dx``=S _{1}]이다.

주어진 조건에서 [eqn: 2S _{1} ```:```2S _{2} =2```:```3]이므로 [eqn: S _{1} ```:```S _{2} =2```:```3]이다.

그러므로 [eqn: S _{1}]은 [eqn: rm TRIANGLE OAB]의 넓이의 [eqn: {2} over {5}]이다.

(사각형 [eqn: rmOABC] 넓이의 [eqn: {1} over {5}]이다.)

[eqn: THEREFORE ```S _{1} =15 TIMES 15 TIMES {1} over {5} =45]

[2점][1997년 수능]

포물선 [eqn: y=(x-a) ^{2} +b] 위의 두 점 [eqn: P(s+a,```s ^{2} +b)]와
[eqn: Q(t+a,```t ^{2} +b)]에서 각각 그은 이 포물선의 접선은 서로 수직이다. 이 두 접선과 위 포물선으로 둘러싸인 도형의 면적을 [eqn: A``]라고 하자. 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?
(단, [eqn: s<0<t])

①

두 점 [eqn: rmP,```Q]에서 포물선 [eqn: y=(x-a) ^{2} +b]에 그은 접선의 기울기는 각각 [eqn: y' _{x=s+a} =2s], [eqn: y' _{x=t+a} =2t]이므로

서로 수직이려면 [eqn: 2s·2t=4st=-1]이다.

[eqn: THEREFORE ```st=- {1} over {4}]

따라서 [eqn: s]가 증가하면 [eqn: t]도 증가한다.

그리고 [eqn: a,```b]의 값에 관계없이 넓이 [eqn: A]는 변하지 않는다.

[별해]

[eqn: y=(x-a) ^{2} +b] 위의 두 점 [eqn: P(s+a,```s ^{2} +b)]와 [eqn: Q(t+a,```t` ^{2} +b)]를 점 [eqn: (a,```b)]가 원점에 오도록 평행이동을 시켜도 같은 구조가 되며, 넓이 [eqn: A``]도 변하지 않으므로 ([그림 1],[그림 2]참조)

[그림1]

[그림2]

포물선 [eqn: y=x ^{2}]과 두 점 [eqn: P` prime `(s,```s ^{2} ),```Q` prime `(t,```t ^{2} )]에서 생각하면 된다.

따라서 [eqn: a,```b]가 변하면 [eqn: A``]도 변한다는 (ㄴ), (ㄷ)은 옳지 않다. 또, [eqn: s]가 증가하면, 두 접선이 수직이므로[eqn: t]도 증가하게 되므로 (ㄱ)만 옳은 답이다.

[2점][1997년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: s]가 증가하면 [eqn: t]도 증가한다. ㄴ. [eqn: a]가 증가하면 면적 [eqn: A]도 증가한다. ㄷ. [eqn: b]가 변하면 면적 [eqn: A]도 변한다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄷ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: n]에 대하여, 두 곡선 [eqn: y= x^2 -2], [eqn: y=- x^2 + {2} over { n^2 }]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim from { n` -> `inf } S_n]의 값은?

⑤

두 곡선 [eqn: y=x^2 -2,~y=-x^2 + 2over n^2]의 교점의 [eqn: x`]좌표는

[eqn: x^2 -2=-x^2 + 2over n^2]에서 [eqn: x=+-sqrt{1+ 1over n^2 }]

그림에서 구하는 넓이 [eqn: S_n]은 [eqn: y`]축에 대칭이므로

[eqn: S_n =2int from0to {sqrt{1+ 1over n^2}} LEFT { (-x^2 + 2over n^2 )-(x^2 -2) RIGHT } dx]

[eqn: =2 {[- 2over3 x^3 +(2+ 2over n^2 )x] }`_{0 } ^{sqrt{1+ 1over n^2} }]

[eqn: lim fromn->inf 1over n^2 =0]이므로 [eqn: lim from n->inf S_n = 8over3]

[3점][2000년 수능]

①　[eqn: 16 over 3]	②　[eqn: 14 over 3]	③　[eqn: 4]

④　[eqn: 10 over 3]	⑤　[eqn: 8 over 3]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(3)=0]이고,
[eqn: int _{0} ^{2013} {f(x)} `dx= int _{3} ^{2013} {f(x)} `dx]를 만족시킨다. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: S]일 때, [eqn: 30S]의 값을 구하시오.

[eqn: 40]

[eqn: f(x)]가 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고

[eqn: f(3)=0]인 이차함수이므로

[eqn: f(x)=(x-3)(x-a)]	[eqn: =x ^{2} -(a+3)x+3a```(a]는 상수)

로 놓을 수 있다.

[eqn: int from 0 to 2013 f(x)dx =int from 3 to 2013 f(x)dx]에서

[eqn: int _{0} ^{3} {f(x)} `dx=0``` CDOTS CDOTS ```㉠]이므로

[eqn: int from 0 to 3 left{x^2 -(a+3)x+3a right}dx][eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} - {a+3} over {2} x ^{2} +3ax RIGHT ] _{0} ^{3}]

[eqn: =9 - 9 over 2 a - 27 over 2 +9 a][eqn: = 9 over 2 a - 9 over 2 =0]

[eqn: THEREFORE ```a=1]

즉, [eqn: f(x)=x^2 -4x+3]이므로

[eqn: S = left| int from 1 to 3 (x^2 -4x+3)dx right|][eqn: = LEFT | LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} +3x RIGHT ] _{1} ^{3} RIGHT |]

[eqn: = left|(9-18+9)-left(1 over 3 -2+3right) right|][eqn: = left|- 4 over 3 right| = 4 over 3]

[eqn: THEREFORE ```30S=30 TIMES {4} over {3} =40]

	[ 참고 ]
[eqn: f(x)=a(x-alpha)(x-beta)]일 때의 넓이 [eqn: S]는 [eqn: S= int _{alpha} ^{beta} {f(x)} `dx= {LEFT | `a` RIGHT |} over {6} (beta-alpha) ^{3}]

[4점][2013년 수능]

곡선 [eqn: y=x^2 -4x+3]과 직선 [eqn: y=3]으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

③

두 그래프의 교점은  [eqn: x^2 -4x+3=3]  [eqn: THEREFORE``` x=0, ``` 4]

따라서, 구하는 넓이는

[eqn: int _{ 0} ^{4 } { LEFT { 3-(x^2 -4x+3) RIGHT } } dx = { 1 cdot (4-0)^3} over { 6} = { 32} over {3 }]

[3점][2014년 수능]

① [eqn: 10]	② [eqn: {31} over {3}]	③ [eqn: {32} over {3}]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: {34} over {3}]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표가 [eqn: (0,```2n+1 )]인 점을 [eqn: rm P`]라 하고, 함수 [eqn: f(x)=nx^2]의 그래프 위의 점 중 [eqn: y`]좌표가 [eqn: 1`]이고 제[eqn: `1`]사분면에 있는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자.

③

[출제의도] 정적분을 이용하여 넓이를 구할 수 있는가?

[eqn: n=1]일 때,

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2}]이고 [eqn: {rmP} LEFT ( 0,~3 RIGHT ) ,~{rmQ} LEFT ( 1,~1 RIGHT )]이므로 구하고자 하는 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S][eqn: = {1} over {2} TIMES 2 TIMES 1+ int _{0} ^{1} {} LEFT ( 1-x ^{2} RIGHT ) dx]
[eqn: =1+ LEFT [ x- {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1}]
[eqn: =1+ LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) = {5} over {3}]

[eqn: n=1]일 때, 선분 [eqn: rm PQ `]와 곡선 [eqn: y=f(x)] 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[3점][2016년 수능]

① [eqn: 3over2]	② [eqn: 19over12]	③ [eqn: 5over3]	④ [eqn: 7over4]	⑤ [eqn: 11over6]

그림과 같이 중심이 [eqn: \O``]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원의 둘레를 [eqn: 6`]등분하는 점을 각각 [eqn: \A,~B,~C,~D,~E,~F``]라 하자.
두 점 [eqn: \A,~B``]에서 두 직선 [eqn: \OA,~OB``]에 접하는 포물선 [eqn: C`_1`]을 그리고, 두 점 [eqn: \B,~C``]에서 두 직선 [eqn: \OB,~OC``]에 접하는 포물선 [eqn: C` _{2}``]를 그린다.

이와 같은 방법으로 포물선 [eqn: C` _{3}` ,~C` _{4} `,~C` _{5}` ,~C ` _{6}``]을 그릴 때, [eqn: 6]개의 포물선으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

①

포물선 [eqn: C_1`]의 방정식을 [eqn: y=ax^2 +b``]로 놓으면 곡선 [eqn: y=ax^2 +b``]가 점 [eqn: (1,~root3 )``]을 지나고 이 점에서 접선의 기울기가 [eqn: root3 `]이므로 [eqn: root 3 = a+b``]이고 [eqn: root3 = 2a``]이다.

따라서 [eqn: a =b= root3 over 2``]이므로 [eqn: y= root3 over2 x^2 + root3 over 2]

∴ [eqn: S= 12 int_0^1 left( root3 over 2 x^2 + root3 over 2 - root3 x right)dx][eqn: =][eqn: 2root3]

[4점][2007년 10월]

①[eqn: 2root3]	②[eqn: {5root3} over 2]	③[eqn: 3root3]	④[eqn: {7root3} over 2]	⑤[eqn: 4root3]

다항함수 [eqn: f`(x)]가 다음 두 조건을 만족한다.

(가) [eqn: f`(0)=0]

(나) [eqn: 0`＜`x`＜`y`＜`1]인 모든 [eqn: x], [eqn: y`]에 대하여
[eqn: 0`＜`xf`(y)`＜`yf`(x)]

세 수	[eqn: A=f``'(0)], [eqn: B=f`(1)], [eqn: C=2 int_0 ^1 f`(x)dx] 의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은?

④

조건(나)에서 [eqn: 0<x<y<1`]인 모든 [eqn: x, ``y]에 대하여

[eqn: 0<xf(y)< yf(x)]

이므로 [eqn: 0< f(y) over y < f(x) over x]이고

[eqn: f(0)=0]을 동시에 만족하는 다항함수 [eqn: f(x)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

[eqn: y= f`'(0) x]

[eqn: y= f(x)]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: f(1)]

[eqn: f(y)]

[eqn: f(x)]

[eqn: B]

[eqn: A]

주어진 그림에서 삼각형 [eqn: OAB]의 넓이는 [eqn: 1over 2 f(1)]이므로

[eqn: y=k][eqn: 1over 2 f(1) < int_0 ^1 f(x) dx]

∴ [eqn: f(1) < 2 int_0 ^1 f(x) dx]   즉, [eqn: B<C`]

한편, 원점 [eqn: O`]을 지나는 접선의 방정식은 [eqn: y= f`'(0) x`]

직선 [eqn: y= f`'(0) x`]와 직선 [eqn: x=1`] 및 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: 1over 2 f`'(0)]이고 주어진 그림에서 [eqn: 1over 2 f`'(0) >int_0 ^1 f(x) dx]

∴ [eqn: f`'(0) > 2int_0 ^1 f(x) dx] 즉, [eqn: A>C`]

∴ [eqn: B<C<A]

[4점][2008년 9월]

① [eqn: A`＜`B`＜`C]	② [eqn: A`＜`C`＜`B]

③ [eqn: B`＜`A`＜`C]	④ [eqn: B`＜`C`＜`A]

⑤ [eqn: C`＜`A`＜`B]

곡선 [eqn: y`=6x^2 +1]과 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x`=1-h],
[eqn: x`=1+h````(h`＞0`)]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S`(h )`]라 할 때,
[eqn: lim _{h `-> +0```}][eqn: {S`(h )}_` over {h}^`]의 값을 구하시오.

14

[eqn: f`(x)`=`6x^2 +1], [eqn: f`(x)]의 부정적분 중 하나를 [eqn: F`(x)]라 하면

[eqn: lim from { h` ->` 0 }` {S`(h)}_` over h `=` lim from { h `->` 0 } ` { INT _{ 1-h}^{1+h } f`(x)dx } over h][eqn: =` lim from { h`->` 0 } `{F(1+h) -F(1-h)}_` over h]

[eqn: =2F`'(1) `=` 2f`(1)`=`14]

[3점][2007년 9월]

그림과 같이 네 점 [eqn: (`0,``0)], [eqn: (`1,``0)], [eqn: (`1,``1)], [eqn: (`0,``1)]을 꼭짓점으로 하는 정사각형의 내부를 두 곡선 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2} `], [eqn: y=ax ^{2} `]으로 나눈 세 부분의 넓이를 각각 [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}], [eqn: S _{3} `]이라 하자.

[eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}], [eqn: S _{3} `]이 이 순서로 등차수열을 이룰 때, 양수 [eqn: a`]의 값은?

①

[eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3} =1], [eqn: 2S _{2} =S _{1} +S _{3}] [eqn: cdots] ㉠

[eqn: S _{1} = int _{0} ^{1} {} 1over 2 x ^{2} dx `= 1over6] [eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: S _{2} = {1} over {3}], [eqn: S _{3} = {1} over {2}]

[eqn: ax ^{2} =1`]에서 [eqn: x= {1} over {sqrt {a}} ``( BECAUSE `x>0)`]이므로

[eqn: S _{3} = {1} over {sqrt {a}} `- int _{0} ^{{1} over {sqrt {a}}} {} ax ^{2} dx`][eqn: = 1 over2]에서  [eqn: a = 16 over 9]

[4점][2008년 10월]

① [eqn: {16} over {9}]	② [eqn: {17} over {9}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {19} over {9}]	⑤ [eqn: {20} over {9}]

그림과 같이 곡선 [eqn: f(x)`=`x ^{2} -5x+4]와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: rmS _{1`}], 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: rmS _{2`}], 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축 및 [eqn: x=k][eqn: (k>4)]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: rmS _{3`}]이라 하자. [eqn: rmS _{1`} ,~S _{2} `,~S _{3} `]이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: int _{0} ^{k} {f(x)} dx]의 값은?

④

[eqn: S _{1`} ,~S _{2} `,~S _{3} `]이 등차수열을 이루므로 [eqn: 2S _{2} `=S _{1} `+`S _{3`}]

[eqn: int _{0} ^{k} {f(x)} dx= S _{1} `-S _{2} `+S _{3} `=S _{2}][eqn: = - int _{1} ^{4} {f(x)} dx= {9} over {2}]

[3점][2009년 7월]

① [eqn: 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 임의로 그은 직선 [eqn: l]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm A], 점 [eqn: rm C(6`,```0)`]을 지나고 [eqn: y]축과 평행하게 그은 직선과의 교점을 [eqn: rm B]라 하자. 사다리꼴 [eqn: rm OABC]의 넓이가 곡선 [eqn: f(x)=x^3 -6x^2]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같을 때, 임의의 직선 [eqn: l]은 항상 일정한 점 [eqn: rm D]를 지난다. 이 때, [eqn: rm TRIANGLE ODC]의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: rm bar{AB}]는 [eqn: rm bar{OC}]아래에 있다.)

[eqn: 54``]

직선을 [eqn: y=mx+n] 이라 두면

[eqn: int _{0} ^{6} {`(x ^{3} `-6x ^{2} `-mx-n)dx`=0}] 이므로 [eqn: n=-3m-18]

직선 [eqn: y=mx-3m-18]

[eqn: m(x-3)``-(`y+18)=0#]이고 [eqn: m]에 관한 항등식

이므로 점 [eqn: rmD]의 좌표는 [eqn: (`x,~y)`=(3`,`-18)``#]따라서 넓이는 [eqn: 54]

[4점][2009년 7월]

두 곡선 [eqn: y=x^4 -x^3`], [eqn: y=-x^4 +x`]로 둘러싸인 도형의 넓이가 곡선 [eqn: y=ax`(1-x`)`]에 의하여 이등분할 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? (단, [eqn: 0`<a`<1`])

④

[eqn: {1} over {2} int _{0} ^{1} {LEFT { (-x ^{4} +x)-(x ^{4} -x ^{3} ) RIGHT } dx}]=

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { (-x ^{4} +x)-(ax-ax ^{2`} ) RIGHT } dx}] 이므로

정리하면 [eqn: a= {3} over {4}]

[3점][2009년 9월]

① [eqn: 1over4`]	② [eqn: 3over8`]	③ [eqn: 5over8`]	④ [eqn: 3over4 `]	⑤ [eqn: 7over8`]

그림과 같이 함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +b] ([eqn: x >= 0`])의 그래프와 그 역함수 [eqn: g(x)``]의 그래프가 만나는 두 점의 [eqn: x``]좌표는 [eqn: 1``]과 [eqn: 2``]이다. [eqn: 0 <= x <= 1``]에서 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)] 및 [eqn: x``]축, [eqn: y``]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: A``]라 하고, [eqn: 1 <= x <= 2``]에서 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)``]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: B``]라 하자.

이때, [eqn: A-B``]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b``]는 상수이다.)

④

[eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{2} + {2} over {3}]이므로

[eqn: A-B=2 int _{0} ^{2} {LEFT ( {1} over {3} x ^{2} + {2} over {3} -x RIGHT )} dx= {4} over {9}]

[3점][2009년 10월]

① [eqn: 1 over 9]	② [eqn: 2 over 9]	③ [eqn: 1 over 3]	④ [eqn: 4 over 9]	⑤ [eqn: 5 over 9]

그림과 같이 네 점 [eqn: (0,```-1)], [eqn: (2,```-1)], [eqn: (2,```4)], [eqn: (0,```4)]를 꼭짓점으로 하는 직사각형 내부가 곡선 [eqn: y=x ^{3`} -x ^{2} `]에 의하여 나누어지는 두 부분을 [eqn: A], [eqn: B], 직선 [eqn: y=ax`]에 의하여 나누어지는 두 부분을 [eqn: C], [eqn: D``]라 하자. 영역 [eqn: A]의 넓이와 영역 [eqn: C`]의 넓이가 같을 때, [eqn: 300a]의 값을 구하시오.

[eqn: 200]

[eqn: A]와 [eqn: C]의 넓이가 같으므로  [eqn: S _{1} =S _{2}]

[eqn: int _{0} ^{2} {(x ^{3} -x ^{2}} -ax)``dx=0] [eqn: THEREFORE `a= {2} over {3}]

따라서 [eqn: 300a=200]

[4점][2011년 7월]

이차함수 [eqn: f`(`x`) = (`x`-`alpha`)(`x`-`beta`)`]에서 두 상수 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: alpha< 0<beta]

(나) [eqn: alpha +beta>0]

이때, 세 정적분

[eqn: A= int _{alpha} ^{0} {f`(`x`) }`dx], [eqn: B= int _{ 0} ^{beta} {`f`(`x`) }`dx], [eqn: C= int _{alpha} ^{ beta} {f`(`x`) }`dx`]

의 값의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은?

⑤

이차함수 [eqn: f(x)`]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: C<B<A`]

[3점][2011년 10월]

① [eqn: A<B<C]	② [eqn: A<C<B]	③ [eqn: B<A<C]

④ [eqn: C<A<B]	⑤ [eqn: C<B<A]

곡선 [eqn: y=x^2 -x+2 ``]와 직선 [eqn: y=2``]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

②

[eqn: x^2 -x+2 =2] 에서 [eqn: x^2 -x=x(x-1)=0]이므로 곡선과 직선의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0]과 [eqn: 1]이다. 따라서 구하는 도형의 넓이는

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { 2-(x^2 -x+2)} dx]  [eqn: =int _{ 0} ^{1 } { (-x^2 +x )} dx]

[eqn: = LEFT [ - { 1} over {3 } x^3 + { 1} over { 2}x^2 RIGHT ]_0 ^1] [eqn: =`` - { 1} over {3 }+ { 1} over {2 } = { 1} over { 6}]

[3점][2011년 9월]

① [eqn: 1 over 9]	② [eqn: 1 over 6]	③ [eqn: 2 over 9]	④ [eqn: 5 over 18]	⑤ [eqn: 1 over 3]

[그림1]은 무대 디자이너 길섭이가 야외공연 무대디자인 공모전에 출품한 작품이다. [그림1]의 중앙무대를 확대하면 [그림2]와 같고, 중앙 무대를 디자인하는 과정은 다음과 같다.

	⑴ 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]를 그리고 각 변의 중점을 각각 [eqn: rm E], [eqn: rm F], [eqn: rm G], [eqn: rm H]라 한다. ⑵ 변 [eqn: rm BC]를 좌표평면 위의 [eqn: x]축과 평행하게 놓고 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rm C]를 지나며 점 [eqn: rm H]를 꼭짓점으로 하는 이차함수의 그래프와 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm D]를 지나며 점 [eqn: rm F]를 꼭짓점으로 하는 이차함수의 그래프를 그린다. ⑶ 변 [eqn: rm AB]를 좌표평면 위의 [eqn: x]축과 평행하게 놓고 ⑵와 같은 방법으로 세 점 [eqn: RM A], [eqn: rm B], [eqn: rm G]를 지나는 이차함수와 세 점 [eqn: rm C], [eqn: rm D], [eqn: rm E]를 지나는 이차함수의 그래프를 추가로 그린다.

	[그림1]	[그림2]

[그림2]의 어두운 부분의 넓이를 [eqn: {p sqrt {2} +q} over {3}]라 할 때, [eqn: p-q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q]는 정수이다.)

[eqn: 15]

점 [eqn: rm E,~G]를 지나는 직선을 [eqn: x]축, 점 [eqn: rm H,~F]를 지나는 직선을 [eqn: y]축으로 할 때, 세 점 [eqn: rm B,~H,~C]를 지나는 이차함수는 [eqn: y=-2x ^{2} +1]

교점 [eqn: rmD`']의 좌표는 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,` {1} over {2} RIGHT )]이므로

어두운 부분의 넓이는

[eqn: S _{1} +8S _{2} =1+8 int _{{1} over {2}} ^{{sqrt {2}} over {2}} {LEFT ( -2x ^{2} +1 RIGHT ) dx} = {8 sqrt {2} -7} over {3}]

[eqn: p=8,~q=-7]

따라서 [eqn: p-q=15]

[4점][2011년 7월]

그림과 같이 삼차함수 [eqn: f`(`x`)=`-(x+1) ^{3} +8`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm A`]라 하고, 점 [eqn: rm A`]를 지나고 [eqn: x`]축에 수직인 직선을 [eqn: l`]이라 하자. 또, 곡선 [eqn: y=f`(`x`)]와 [eqn: y`]축 및 직선 [eqn: y=k`]([eqn: 0<k<7])로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_1]이라 하고, 곡선 [eqn: y=f`(`x`)]와 직선 [eqn: l`] 및 직선 [eqn: y=k`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_2]라 하자. 이때, [eqn: S_1`=`S_2]가 되도록 하는 상수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: 4k`]의 값을 구하시오.

[eqn: 17]

[eqn: rmA(1,~0)]이고 [eqn: S_1 = S_2]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {} LEFT { -(x+1) ^{3} +8-k RIGHT } dx =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 4k=4`times {17} over {4} `=17]

[4점][2011년 10월]

함수 [eqn: y=4x^3 -12x^2 +8x``]의 그래프와 [eqn: x``]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

[eqn: 2]

삼차함수 [eqn: y=4x(x-1)(x-2)``]가 [eqn: [`0,```1]``]에서 [eqn: x``]축의 위쪽,
[eqn: [`1,```2`]``]에서 [eqn: x``]축 아래쪽에 둘러싸인 부분이 존재한다. 따라서
[eqn: int from 0 to 1 left(4x^3 -12x^2 +8x right)`dx - int from 1 to 2 left(4x^3 -12x^2 +8x right)`dx =2]

[4점][2012년 5월]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +x-1]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: int _{1} ^{9}{ g(x) dx}]의 값은?

③

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y`=`f(x)]

[eqn: rm O]

[eqn: y`=`g(x)]

[eqn: 1]

[eqn: 9]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: 9]

그림에서 어두운 두 부분의 넓이가 같으므로

[eqn: int _{1} ^{9} {g LEFT ( x RIGHT )} dx` & =18-1- int _{1} ^{2} {f(x)dx} `=18-1- int _{1} ^{2} {LEFT ( x ^{3} +x-1 RIGHT ) dx}# & =17- LEFT [ {1} over {4} x ^{4} + {1} over {2} x ^{2} -x RIGHT ] _{1} ^{2} ``=17- {17} over {4} = {51} over {4}]

[[eqn: 4]점][2012년 7월]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f` LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: -1]

① [eqn: {47} over {4}]	② [eqn: {49} over {4}]	③ [eqn: {51} over {4}]	④ [eqn: {53} over {4}]	⑤ [eqn: {55} over {4}]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{2} `]과 양수 [eqn: t`]에 대하여 세 점 [eqn: {rmO}(0,~0),`````{rmA}(t,~0),````{rmB}(t,~t ^{2} )] 을 지나는 원 [eqn: C``]가 있다.
원 [eqn: C``]의 내부와 부등식 [eqn: y LEQ x ^{2} `]이 나타내는 영역의 공통부분의 넓이를 [eqn: S`(t)`]라 할 때, [eqn: S`` prime (1)`= {p` pi +q} over {4}]이다. [eqn: p ^{2} `+q ^{`2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q`]는 정수이다.)

13

세 점 [eqn: \O(0,``0)], [eqn: \A( it t ,``0)], [eqn: \B( it t ,``t^2 )]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \OAB]는 직각삼각형이므로 원 [eqn: C`]의 반지름의 길이 [eqn: r`]는

[eqn: r= 1over 2 bar{\OB}][eqn: = 1over 2 root{t^2 + t^4 }]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: y = x^2]

[eqn: S_1 (t)]

[eqn: S _{2} (t)]

위의 그림에서 [eqn: S_2`(t)]의 넓이는

[eqn: S_2 (t)=] (반원의 넓이)[eqn: -](직각삼각형 [eqn: \OAB]의 넓이)

[eqn: = 1 over 2 pi left( 1over 2 root{t^2 + t^4 } right)^2 - 1over 2 times t times t^2]

[eqn: = 1over8 (t^2 +t^4 ) pi - 1over2 t^3]

위의 그림에서 [eqn: S_1` (t)]의 넓이는

[eqn: S_1 (t)= int_0 ^t x^2 dx] [eqn: = left[ 1over 3 x^3 right]_0 ^t][eqn: = 1over3 t^3]

따라서 구하는 넓이 [eqn: S(t)]는

[eqn: S(t)= S_1 (t)+ S_2 (t)] [eqn: = 1over8 (t^2 +t^4 ) pi - 1over2 t^3 + 1over3 t^3]

[eqn: = 1over8 (t^2 +t^4 ) pi - 1over6 t^3]

[eqn: S`'(t) = 1over8 (2t+ 4 t^3 ) pi - 1over2 t^2]

∴ [eqn: S`'(1) = 1over8 (2+4 ) pi - 1over2][eqn: = {3pi -2} over 4]

∴ [eqn: p=3, ``q=-2]

∴ [eqn: p^2 + q^2 = 9+4 =13]

[4점][2012년 9월]

함수 [eqn: f(x)=-x ^{`2} +x+2]에 대하여 그림과 같이 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분을 [eqn: y`]축과 직선 [eqn: x=k`] ([eqn: 0<k<2])로 나눈 세 부분의 넓이를 각각 [eqn: rm S ` _{1}`], [eqn: rm S ` _{2}`], [eqn: rm S ` _{3}`]이라 하자. [eqn: rm S ` _{1}`], [eqn: rm S ` _{2}`], [eqn: rm S ` _{3}`]이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: rm`S _{`2}`]의 값은?

④

[eqn: rmS _{1} `], [eqn: rmS _{2} `], [eqn: rmS _{3} `]이 등차수열을 이루므로 [eqn: rm 2S _{2} = {S _{1} +S _{3}}]이다.

[eqn: rm3S_2][eqn: rm =S _{1} +S _{2} +S _{3} `][eqn: = it int _{-1} ^{2} {f(x)dx} `]

[eqn: =left[- {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} +2x right] _{-1} ^{2}]

[eqn: = {9} over {2}]     ∴ [eqn: rmS _{2} = {3} over {2}]

[4점][2012년 10월]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=f(x)`]

[eqn: x=k]

① [eqn: 1]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {4} over {3}]	④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

그림은 두 곡선 [eqn: y=x^2], [eqn: y= 1 over 4 x^2 ``]과 꼭짓점의 좌표가 [eqn: O`(0,```0)], [eqn: A`(n,```0)], [eqn: B`left(n,```n^2 right)], [eqn: C`left(0,```n^2 right)``]인 직사각형 [eqn: OABC``]를 나타낸 것이다. (단, [eqn: n``]은 자연수)

②

위의 그림에서 [eqn: n=4]일 때, 구하는 넓이는

[eqn: int _{0} ^{4} {} LEFT ( x ^{2} - {1} over {4} x ^{2} RIGHT ) dx`= int _{0} ^{4} {{3} over {4}} x ^{2} `dx= LEFT [ {1} over {4} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{4} =16]

[eqn: therefore 16]

[eqn: n=4``]일 때, 두 곡선 [eqn: y=x^2], [eqn: y= 1 over 4 x^2 ``]과 직선 [eqn: AB``]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[3점][2013년 9월]

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A( it 2`,``0)`], [eqn: rm B( it 0`,``3)`]을 지나는 직선과 곡선 [eqn: y=ax ^{2} `]([eqn: a`>0`]) 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분 중에서 제[eqn: 1`]사분면에 있는 부분의 넓이를 [eqn: S` _{1} `]이라 하자. 또, 직선 [eqn: rmAB`]와 곡선 [eqn: y=ax ^{2} `] 및 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S` _{2} `]라 하자. [eqn: S _{`1} :S _{`2} `=`13:`3`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

②

두 점 [eqn: rm A( it 2`,``0)`], [eqn: rm B( it 0`,``3)`]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y=`- {3} over {2} x+3`]

이 직선과 함수 [eqn: y=ax ^{2} `]의 그래프의 교점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: p`]라 하면

[eqn: - {3} over {2} p+3=ap ^{2} `] …… ㉠

[eqn: S _{1} = int _{0} ^{p} {} LEFT { LEFT ( - {3} over {2} x+3 RIGHT ) -ax ^{2} RIGHT } dx``]

[eqn: LEFT . = LEFT [ - {3} over {4} x ^{2} +3x- {1} over {3} ax ^{3} RIGHT ] _{0} ^{p} `]

[eqn: =`- {3} over {4} p ^{2} +3p- {1} over {3} ap ^{3} `]

[eqn: =`- {3} over {4} p ^{2} +3p- {1} over {3} p LEFT ( - {3} over {2} p+3 RIGHT ) `]

[eqn: =`- {1} over {4} p ^{2} +2p`]…… ㉡

한편 [eqn: S _{`1} +S _{`2} = {1} over {2} TIMES 2 TIMES 3=3`]이고 [eqn: S _{1} :S _{2} =13:3`]이므로 [eqn: S _{`1} =3 TIMES {13} over {16} `= {39} over {16} `]…… ㉢

㉡, ㉢에서 [eqn: - {1} over {4} p ^{2} +2p= {39} over {16} `]

[eqn: 4p ^{2} -32p+39=0`]

[eqn: (2p-3)(2p-13)=0`]

따라서 [eqn: p= {3} over {2} `] (∵ [eqn: 0<p<2``])

그러므로 ㉠에서 [eqn: - {9} over {4} +3= {9} over {4} a]

∴ [eqn: a= {1} over {3}]

[4점][2013년 10월]

① [eqn: {2} over {9} `]	② [eqn: {1} over {3} `]	③ [eqn: {4} over {9} `]	④ [eqn: {5} over {9} `]	⑤ [eqn: {2} over {3} `]

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 두 조건을 만족시킨다.

⑤

[eqn: f'(x) `=` 3x^2 -4x -4]이므로

[eqn: f(x) `=` x^3 -2x^2 -4x + C]

[eqn: f(2) `=` 0] 이므로

[eqn: f(2) `=` -8 + C `=` 0] [eqn: therefore C `=` 8]

[eqn: f(x) `=` (x+2)(x-2)^ 2]이므로

구하는 도형의 넓이는

[eqn: int _{-2} ^{2} {LEFT ( ``x ^{3} -2x ^{2} -4x+8 RIGHT )} `dx`=` {64} over {3}]

	(가) [eqn: f`'(x)=3x ^{2} -4x-4] (나) 함수 [eqn: y=f`(x)]의 그래프는 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]을 지난다.

이때 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

[[eqn: 4]점][2013년 7월]

① [eqn: {56} over {3}]	② [eqn: {58} over {3}]	③ [eqn: 20]	④ [eqn: {62} over {3}]	⑤ [eqn: {64} over {3}]

자연수 [eqn: {n} `]에 대하여 곡선 [eqn: {y=a`x ^{2}`}]([eqn: a>0`]) 위의 점 [eqn: {rm `P _{it `n rm}`}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

②

점 [eqn: rm P_1 left(1, 1over3 right)]은 곡선 [eqn: y`][eqn: =ax^2 `]위의 점이므로 [eqn: a`][eqn: = 1over3 `]

직선 [eqn: rm P_1 P_2]의 방정식은

[eqn: y `][eqn: = - 1over3 times1 timesx +2 times 1over3 times 1^2 `], [eqn: y`][eqn: =- 1over3 x + 2over3 `]

점 [eqn: rmP_2]의 [eqn: x]좌표는 직선 [eqn: rm P_1 P_2]와 곡선 [eqn: y `][eqn: = 1over3 x^2 `]의

교점이므로 [eqn: 1over3 x^2 `][eqn: =- 1over3 x + 2over3 `]

[eqn: x ^{2} +x-2`][eqn: =0`]

[eqn: x`][eqn: =`-2`] 또는 [eqn: x`][eqn: =1`]

점 [eqn: rmP_2]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -2]

구하는 부분의 넓이는

[eqn: & int _{-2} ^{0} {} LEFT ( - {1} over {3} x+ {2} over {3} - {1} over {3} x ^{2} RIGHT ) dx `][eqn: = & LEFT [ `-` {1} over {6} `x ^{2} +` {2} over {3} `x`-` {1} over {9} `x ^{3} ` RIGHT ] _{-2} ^{0} `]                                      [eqn: `= &2over3 + 4over3 - 8over9 `][eqn: = 10over9 `]

(가) 점 [eqn: {rm `P _{1}`}]의 좌표는 [eqn: {it (x _{1} ,```a`x _{1} ^{``2} )`}`]이다.

(나) 점 [eqn: {rm `P _{it `n+1 rm}`}]은 점 [eqn: {rm `P _{it `n rm} it (x _{n} ,```a`x _{n} ^{```2} )}`]을 지나는 직선
[eqn: {`y`=`-a`x _{n} `x+2a`x _{n} ^{``2}}`]과 곡선 [eqn: {{y=a`x ^{2}}}`]이 만나는 점 중에서 점 [eqn: {rm `P _{it`n}}]이 아닌 점이다.

점 [eqn: rm P _{it 1 rm}`]의 좌표가 [eqn: left(1,`` 1 over 3 right)`]일 때, 곡선 [eqn: y=a`x ^{2}`]과 직선 [eqn: rm P _{ 1 } P _{ 2}`]로 둘러싸인 부분 중에서 제[eqn: 2`]사분면에 있는 부분의 넓이는?

[4점][2014년 10월]

① [eqn: 4 over 3]	② [eqn: 10 over 9]	③ [eqn: 8 over 9]	④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 4 over 9]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -9x]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

⑤

[출제의도] 정적분과 넓이 이해하기

[eqn: f(x)=x ^{3} -9x`=x LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int _{-3} ^{3} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | `dx} `=2 int _{-3} ^{0} {f(x)`dx} `]

[eqn: =2 LEFT [ {1} over {4} x ^{4} - {9} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{-3} ^{```0} = {81} over {2}]

[3점][2015년 7월]

① [eqn: { 77} over { 2}]	② [eqn: 39]	③ [eqn: { 79} over 2{ }]	④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: { 81} over 2{ }]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: 4m]의 값을 구하시오.

27

[출제의도] 정적분의 성질을 활용하여 문제해결하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx`+c`] (단, [eqn: a,`b,`c]는 상수) 라 하면

조건 (가)에 의하여 [eqn: c=0`]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2ax+b`]에서

조건 (나)에 의하여 [eqn: a=-6`]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -12x+b`][eqn: =3 LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +b-12]

조건 (다)에 의하여 [eqn: b GEQ 9`]이고

[eqn: int _{0} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}][eqn: = int _{0} ^{3} {(x ^{3} -6x ^{2} +bx)`dx}]
[eqn: = LEFT [ {x ^{4}} over {4} -2x ^{3} + {b} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{3}]
[eqn: =- {135} over {4} + {9b} over {2} GEQ {27} over {4}] ([eqn: because~b geq9])

[eqn: b=9`]일 때, 최솟값 [eqn: m= {27} over {4} `]

따라서 [eqn: 4m=27]

[4점][2015년 7월]

	(가) [eqn: f(0)=0] (나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( 2-x RIGHT ) =f`' LEFT ( 2+x RIGHT ) `]이다. (다) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) GEQ -3`]이다.

함수 [eqn: {f(x)`}]의 도함수 [eqn: { f `'(x) `]가 [eqn: { f `'(x) `=` x^2 -1 }`]이고, [eqn: f (0) =0 `]일 때, 곡선 [eqn: y `=` f(x) `]와 [eqn: x `]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

④

[eqn: f `'(x) `=` x^2 -1 `]로부터 [eqn: f (x)`=` 1 over 3 x^3 -x + C]

그런데 [eqn: f(0) `=`0]이므로 [eqn: f (x) `=` 1 over 3 x^3 -x]

[eqn: 1 over 3 x^3 -x `=`0] [eqn: Lrarrow] [eqn: x `=` - root{3}], [eqn: 0], [eqn: root{3}]

[eqn: f(x) `]가 기함수이므로 구하고자 하는 넓이는

[eqn: 2 ` times int from 0 to root{3}left{ -left( 1 over 3 x^3 -x right)right} ` dx `=` 2 ` times left[ - 1 over 12 x^4 + 1 over 2 x^2 right]_0^root{3}]

[eqn: `=` 2 ` times left{ left( - 3 over 4 + 3 over 2 right) - left( 0-0 right) right}]

[eqn: `=` 3 over 2]

[4점][2015년 9월]

① [eqn: 9 over 8]	② [eqn: 5 over 4]	③ [eqn: 11 over 8]	④ [eqn: 3 over 2]	⑤ [eqn: 13 over 8]

곡선 [eqn: y=x ^{3} - 2 x ^{2} + k`]와 직선 [eqn: y=k`]로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단, [eqn: k`]는 상수이다.)

④

[출제의도] 적분의 성질을 이해하고 넓이를 구한다.

[eqn: x ^{3} - 2 x ^{2} + k][eqn: = k`]에서 [eqn: x ^{3} - 2 x ^{2}][eqn: =0 `], [eqn: x][eqn: =0`] 또는 [eqn: 2`]

따라서 [eqn: int_0 ^2 left| `` x ^{3} - 2 x ^{2} + k -k `` right| ``dx]

[eqn: = left[ - 1 over 4 x^{`4} + 2 over 3 x^{`3} right]_0 ^2][eqn: = 4 over 3 `]

[3점][2015년 10월]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 3]

[해설] 미적분1-(5)적분-(d)정적분활용, 넓이