수 리 영 역

정적분

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수 리 영 역

정적분

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년) 기출

단원 : 정적분

성명			수험번호

16

오른쪽 그림은 [eqn: y=f``(x)]의 그래프이다. 함수 [eqn: g`(x)]를 [eqn: g`(x) = INT _{ x}^{ x+1} f``(t)dt] 라 할 때, [eqn: g`(x)]의 최소값은?

②

문제의 주어진 그림에서

[eqn: f``(x)=a(x-1)(x-4)]

[eqn: =a(x ^{2} -5x+4)~(a>0)]

[eqn: g``(x)= int_x ^ x+1 f``(t) dt ``]

위의 주어진 양변을 [eqn: x``]에 관하여 미분하면

[eqn: g``'(x) = f``(x+1 )- f``(x)]

[eqn: = a left{ (x+1)^2 - 5(x+1) + 4 right} - a``(x^2 - 5x +4 )]

[eqn: =2a (x-2)]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: x<2]에서 [eqn: g``'(x)<0 ,]

[eqn: x>2]에서 [eqn: g``'(x)>0]

따라서, [eqn: g``(x)]는 [eqn: x=2]에서 극소이고 최소이므로

최소값은 [eqn: g``(2)]

[1994년 수능 2차]

①　[eqn: g`(1)]	②　[eqn: g`(2)]	③　[eqn: g` LEFT( 5 over 2 RIGHT)]

④　[eqn: g` LEFT( 7 over 2 RIGHT)]	⑤　[eqn: g`(4)]

[eqn: 5]차 이하의 모든 다항함수 [eqn: f`(x)]에 대하여
[eqn: INT _{ -1}^{1 } `f`(x)` dx ~=~ f`( - SQRT{ 3 over 5} )`a `+`f(0)b `+`f`(SQRT {3over 5} )a]
를 성립시키는 상수 [eqn: a,```b]가 있다.  [eqn: a,```b]를 순서대로 나열한 것은?

②

[eqn: 5]차 이하의 모든 다항식 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: int_-1^1 f(x) dx = f `left( - root{3 over 5} right) a + f(0) b + f ` left( root{3 over 5} right) a]이

성립하고, 또한 적분구간이 대칭구간이므로 [eqn: f(x)]가 우함수인 경우에 대해서 생각해보면 [eqn: f`(x`)=x^2]일 때도 주어진 식이 성립하여야 한다. 따라서 주어진 식에 대입하면

[eqn: int_-1^1 f(x) dx` =int_-1^1 x^2 dx` = 2 over 3][eqn: = 3 over 5 a + 0 cdot b + 3 over 5 a][eqn: = 6 over 5 a]

∴ [eqn: a = 5 over 9]

또한 [eqn: f(x) = 1]일 때도 성립해야 하므로 주어진 식에 대입하면

[eqn: int_-1^1 f(x) dx =int_-1^1 1 dx = 2][eqn: = a + b + a][eqn: = 10 over 9 + b]

[eqn: THEREFORE ```b= {8} over {9}]

[3점][2002년 수능]

① [eqn: 4 over 9], [eqn: 10 over 9]	② [eqn: 5 over 9], [eqn: 8 over 9]	③ [eqn: 2 over 3], [eqn: 2 over 3]

④ [eqn: 7 over 9], [eqn: 4 over 9]	⑤ [eqn: 8 over 9], [eqn: 2over 9]

다음 식을 만족하는 다항식 [eqn: f`(x)]의 계수들의 합은?

①

다항식 [eqn: f left ( x right )]의 차수를 [eqn: n]이라 하자.

이 때, [eqn: f left ( f left ( x right ) right ), ~ int_{0}^{x} f left ( t right ) dt]의 차수는 각각 [eqn: n ^{2} ,```n+1]이므로 만약 [eqn: n GEQ 2]이라면 주어진 조건식의 좌변과 우변의 차수도 각각 [eqn: n ^{2} ,```n+1]이어야 한다.

그런데, [eqn: n^2 = n + 1]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은 없으므로 [eqn: n < 2]임을 알 수 있다.

따라서, [eqn: f left ( x right ) = a x + b]로 놓으면

[eqn: f left ( f right ( x right ) right ) = int_{0}^{x} f left ( t right ) dt - x^2 + 3 x + 3]

[eqn: a left ( a x + b right ) + b &= int_{0}^{x} left ( a t + b right ) dt - x^2 + 3 x + 3]

[eqn: = a over 2 x^2 + b x - x^2 + 3 x +3]

[eqn: a^2 x + left ( a b + b right ) = left ( a over 2 - 1 right ) x^2 + left ( b + 3 right ) x +3]

양변의 동류항의 계수를 비교하면

[eqn: {a} over {2} -1=0,```a ^{2} =b+3,```ab+b=3]

[eqn: THEREFORE ```a=2,```b=1]

따라서, 구하는 [eqn: f left ( x right )]의 계수들의 합은

[eqn: a + b = 2 + 1 = 3]

[eqn: f`(` f(x)`)= INT _{ 0}^{x } f`(t)dt-x^2 +3x + 3]

[3점][2002년 수능]

①　[eqn: 3]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 1]

④　[eqn: 0]	⑤　[eqn: -1]

그림과 같이 삼차함수 [eqn: y=f`(x)]가 극대값 [eqn: f`(1)=1]과 극소값 [eqn: f`(3)=-3]을 가지며, [eqn: f`(0)=-3]이다.
이때, [eqn: INT _{ 0}^{3 }`` LEFT | f`` prime (x`)` RIGHT | `dx``]의 값은?

③

[eqn: f``'`(x`)=a`(x-1`)`(x-3`)]이므로

[eqn: f`(x`)`=`a` LEFT ( 1over3 x^3 -2x^2 +3x` RIGHT )`+`C~(C`]는 적분상수)[eqn: cdots~①]

또, [eqn: f`(1`)`=`1,~f`(0`)=-3`]이므로

①에 대입하여 풀면

[eqn: a`=`3,~C=-3]이므로 [eqn: f``'`(x`)=3(x-1)`(x-3`)]

[eqn: THEREFORE ~INT _{ 0}^{3 }`` LEFT | f`` prime (x`)` RIGHT | `dx``][eqn: =3int from0to1 (x-1)(x-3)dx`-3int from1to3 (x-1)(x-3)dx`][eqn: =8]

[3점][2003년 수능]

① [eqn: `6]	② [eqn: `7]
③ [eqn: `8]	④ [eqn: `9]
⑤ [eqn: `10]

다음은 연속함수 [eqn: y=f``(x`)`]의 그래프와 이 그래프 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm P`(ita,```f`(a))], [eqn: rm Q`(itb,```f`(b))]를 나타낸 것이다.

함수 [eqn: F`(x)]가 [eqn: F` prime (x)=f`(x)]를 만족시킬 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

③

ㄱ. 구간 [eqn: [a,```b]]에서 [eqn: F``'(x)=f(x)＞0`]이므로 함수 [eqn: F(x)`]는 증가함수이다. (참)

ㄴ. 직선 [eqn: PQ`]의 기울기는 [eqn: {f(b)-f(a)}over b-a`] (거짓)

ㄷ. 점 Q에서 직선 PA에 내린 수선의 발을 R라 놓으면

[eqn: {(b-a)left{ f(a)-f(b)right} }over2 = `]△PQR

[eqn: int_a^b left{ f(x)-f(b) right} dx `][eqn: = int _{a} ^{b} {} f(x)dx- int _{a} ^{b} {} f(b)dx]

[eqn: = int _{a} ^{b} {} f(x)dx-□QRAB`]

[eqn: THEREFORE ``` int _{a} ^{b} {} LEFT { f(x)-f(b) RIGHT } dx][eqn: LEQ {(b-a) LEFT { f(a)-f(b) RIGHT }} over {2} `]  (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[4점][2005년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. 함수 [eqn: F`(x)]는 구간 [eqn: [a,```b]]에서 증가한다. ㄴ. [eqn: {F`(b)-F`(a)} over {b-a}]는 직선 [eqn: rm PQ]의 기울기와 같다. ㄷ. [eqn: int _{a} ^{b} {LEFT { f(x)-f(b) RIGHT }} ``dx LEQ {(b-a) LEFT { f(a)-f(b) RIGHT }} over {2}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: y = f`(x`)`]가 모든 실수에서 연속이고, [eqn: |`x``|`!= `1`]인 모든 [eqn: x``]의 값에 대하여 미분계수 [eqn: f`` prime (x`)`]가

[eqn: f`'(x)= {cases{x ^{2}&```( LEFT | `x` RIGHT | <1)#-1&```( LEFT | `x` RIGHT | >1)}}]

일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

④

도함수 [eqn: y=f`'(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: y=f`'(x)]

[eqn: -1]

따라서 연속함수 [eqn: f(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: y=f(x)]

[eqn: x=-1]

[eqn: x=1]

ㄱ. [eqn: lim _{x -> -1-} {} f`` prime (x)=-1<0], [eqn: lim _{x -> -1+} {} f`` prime (x)=1>0] 이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 감소상태에서 증가상태로 바뀐다.

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극소값을 갖는다. (참)

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이 아니므로 [eqn: f(x)=f(-x)]가 성립하지 않는다. (거짓)

ㄷ. [eqn: y=f(x)]의 그래프에서 [eqn: f(1)>f(0)]이므로 [eqn: f(0)=0]이면 [eqn: f(1)>0]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[3점][2006년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. 함수 [eqn: y = f`(x`)`]는 [eqn: x = -1`]에서 극값을 갖는다. ㄴ. 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f`(x`) = f`(-x`)`]이다. ㄷ. [eqn: f`(0) = 0`]이면 [eqn: f`(1) ＞ 0`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f`(x)=x ^{3}]의 그래프를 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동시켰더니 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 되었다.
[eqn: g(0)=0]이고 [eqn: int _{a} ^{3a} {} g`(x)``dx- int _{0} ^{2a} {} f`(x)``dx=32]일 때, [eqn: a^4 `]의 값을 구하시오.

[eqn: 16]

[eqn: f(x)=x^3]의 그래프를 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동시키면 [eqn: g(x)=(x-a)^3 +b]의 그래프가 된다.

[eqn: g(0)=-a^3 +b=0]이므로 [eqn: b=a ^{3} ``` CDOTS CDOTS ```㉠]

한편, 그래프의 평행이동에 의해

[eqn: int_a^b g(x) dx = int_a-c^b-c g(x+c) dx]가 성립함을 이용하면

[eqn: int_a^3a g(x) dx = int_a^3a left{ (x-a)^3 +b right}d x][eqn: = int_0^2a left( x^3 +b right)d x]

[eqn: THEREFORE ``` int _{0} ^{2a} {} LEFT ( x ^{3} +b RIGHT ) dx- int _{0} ^{2a} {} x ^{3} dx= int _{0} ^{2a} {} bdx]

[eqn: =2ab=32``` CDOTS CDOTS ```㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: 2a b = 2a^4 = 32]이므로 [eqn: a^4 = 16]

[3점][2006년 수능]

삼차함수 [eqn: f`(x)=x ^{3} -3x-1]이 있다. 실수 [eqn: t```(t GEQ -1)]에 대하여 [eqn: -1 LEQ x LEQ t]에서 [eqn: |`` f``(x) ``|]의 최댓값을 [eqn: g(t)``]라고 하자.
[eqn: int _{-1} ^{1} {} `g(t)`dt`=` {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q``]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q``]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 17]

[eqn: f`(x)=x^3 -3x-1]에서

[eqn: f`'(x)=3x^2 -3]

[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=±1]

[eqn: f`(-1)=1], [eqn: f`(1)=-3]이므로 [eqn: y=|f`(x)|]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: THEREFORE ```g(t`)= {cases{1~~~~~``(-1 LEQ t LEQ 0)#-f`(t`)~(0 LEQ t LEQ 1)}}]

[eqn: THEREFORE ``` int _{-1} ^{1} {} g(t`)dt= int _{-1} ^{0} {} 1dt+ int _{0} ^{1} {} -f`(t`)dt]

[eqn: = left[t` left]_-1^0 + int from 0 to 1 (-t`^3 +3t+1)dt]

[eqn: =-(-1)+left[- 1 over 4 t`^4 + 3 over 2 t^2 + t right]_0^1]

[eqn: =1+left(- 1 over 4 + 3 over 2 +1 right)= 13 over 4]

[eqn: THEREFORE ```p+q=4+13=17]

[4점][2010년 수능]

함수 [eqn: f(x)=3(x-1)^2 +5``]에 대하여 함수 [eqn: F`(x)`]를
[eqn: F`(x)=int from 0 to x f(t)`dt``]라 하자. 미분가능한 함수 [eqn: g(x)``]가 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: F`(g(x))= 1 over 2 F`(x)``]

를 만족시킨다. [eqn: g'(2)=p``]일 때, [eqn: 30`p``]의 값을 구하시오.

[eqn: 37]

[eqn: F(g(x))= 1over 2 F(x)]의 양변을 미분하면
[eqn: f(g(x))cdot g` prime(x) = 1over2 f(x)]
[eqn: x=2]를 대입하면
[eqn: f(g(2))cdot g`prime(2)= 1over2 f(2)=4~cdots``㉠]

이제 [eqn: g(2)]를 구하면 된다.

[eqn: F`(x)=int_0^x (3x^2 -6x+8)dx=x^3 -3x^2 +8x]

[eqn: F`(g(2))= 1over2 F`(2) =6]에서

[eqn: g(2)=t]라 하면

[eqn: t^3 -3t^2 + 8t -6=0], [eqn: (t-1)(t^2 -2t+6)=0]

[eqn: therefore```t=1]

[eqn: f(1)=5], [eqn: f(2)=8]이므로 [eqn: 5p =4,~ p= 4over5]

[eqn: therefore```30p=24]

[4점][2012년 수능]

이차함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: f(0)=`-1``]이고,

[eqn: int from -1 to 1 f(x)`dx=int from 0 to 1 f(x)`dx=int from -1 to 0 f(x)`dx``]

를 만족시킨다. [eqn: f(2)``]의 값은?

①

[eqn: int_-1^1 f(x)dx = int_-1^0 f(x)dx + int_0^1 f(x)dx]이므로
[eqn: int_-1^1 f(x)dx = int_0^1 f(x)dx = int_-1^0 f(x)dx]이면

[eqn: int_-1^1 f(x)dx = int_0^1 f(x)dx = int_-1^0 f(x)dx=0]

따라서 [eqn: f(x)=ax^2 -1]로 놓으면

[eqn: int _{0} ^{1} {} f(x)dx & = int _{0} ^{1} {} (ax ^{2} -1)dx= {a} over {3} -1=0~~ THEREFORE ```a=3]

[eqn: therefore```f(x)=3x^2 -1], [eqn: f(2)=12-1=11]

[4점][2012년 수능]

① [eqn: 11]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 7]

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x+a]에 대하여 함수 [eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {f(t)} `dt]가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 양수 [eqn: a]의 최솟값은?

②

[eqn: f(x)=x^3 -3x+a]에 대하여

[eqn: F(x)= int from 0 to x f(t)dt]이므로 [eqn: F`'(x)=f(x)], [eqn: F(0)=0]

이때, [eqn: f'(x)=3x^2 -3][eqn: =3(x+1)(x-1)]에서

[eqn: F`'(x)=f(x)]는 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=1]일 때 극값을 가진다.

한편, 함수 [eqn: F(x)]가 오직 하나의 극값을 가지려면 [eqn: y=F(x)]의 그래프의 개형이 다음 두 그래프 중 하나와 같아야 한다.

따라서 [eqn: F(x)]가 오직 하나의 극값을 가지려면

[eqn: f(-1)≤0] 또는 [eqn: f(1)≥0]이어야 하므로

[eqn: f(-1)≤0]에서 [eqn: a≤-2], [eqn: f(1)≥0]에서 [eqn: a≥2]

따라서 양수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 2]이다.

[다른 풀이]

[eqn: F(x)= int from 0 to x f(t)dt]이므로 [eqn: F`'(x)=f(x)], [eqn: F(0)=0]

[eqn: F(x)]가 오직 하나의 극값을 가지므로 [eqn: F`'(x)],

즉 [eqn: f(x)]의 부호가 오직 한 번 변해야 한다.

따라서 삼차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x]축과 오직 한 번 만나거나 [eqn: x]축과 접해야 한다.

[eqn: f(x)=x ^{3} -3x+a]에서

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} -3=3(x-1)(x+1)]이므로

부등식 [eqn: f(1) TIMES f(-1)Geq0]이 성립해야 한다.

[eqn: (-2+a)(2+a)geq0]  [eqn: THEREFORE ```a` LEQ -2] 또는 [eqn: a`geq2]

따라서 양수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 2]이다.

[4점][2013년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

삼차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f(0)>0]을 만족시킨다. 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x)= LEFT | ` int _{0} ^{x} {f(t)} `dt` RIGHT |]
라 할 때, 함수 [eqn: g(x)]의 그래프가 그림과 같다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

[eqn: F'(x)=f(x)]라 하면 [eqn: int from 0 to x f(x)dx=F(x)-F(0)]

[eqn: F(x)-F(0)=h(x)]라 하자.

[eqn: f(0)＞0]이므로 [eqn: x=0]의 가까운 오른쪽에서 [eqn: int from 0 to x f(x)dx＞0]

따라서 [eqn: y=h(x)]와 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. (참) 방정식 [eqn: f(x)=0]은 구간 [eqn: (0,~2)], [eqn: (2,~5)], [eqn: (5,~8)]에서 각각 실근을 갖는다.

ㄴ. (참) [eqn: x=0]에서 감소 상태에 있으므로 [eqn: f prime (0)＜0]

ㄷ. (참) [eqn: h(x)=kx(x-2)(x-5)(x-8)``(k＜0)]이라 할 때
[eqn: int from m to m+2 f(x)dx=h(m+2)-h(m)]이므로

[eqn: m=1]일 때, [eqn: h(3)-h(1)=58k＜0]

[eqn: m=2]일 때, [eqn: h(4)-h(2)=32k＜0]

[eqn: m=3]일 때, [eqn: h(5)-h(3)=-30k>0]

[eqn: m=4]일 때, [eqn: h(6)-h(4)=-80k＞0]

[eqn: m=5]일 때, [eqn: h(7)-h(5)=-70k＞0]

[eqn: m=6]일 때, [eqn: h(8)-h(6)=48k<0]

[eqn: m=7]일 때, [eqn: h(9)-h(7)=322k<0]

[eqn: m≥8]일 때, [eqn: h(m+2)-h(m)<0]

따라서 [eqn: int _{m} ^{m+2} {} f(x)dx＞0]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]은 [eqn: 3,```4,```5]로써 [eqn: 3]개이다.

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[다른 풀이]

[그림 1]

[그림 2]

[eqn: h(x)= int _{0} ^{x} {f(t)} `dt]라 하면

[eqn: h(x)]는 사차함수이므로 위 두 그림중 하나이다.

[eqn: f(x)=h'(x)]이므로 두 그림 중 [eqn: f(0)=h'(0)>0]을 만족하는 경우는 위의 [그림 2]이다.

따라서 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 오른쪽과 같다.

ㄱ. [eqn: y=h(x)]는 [eqn: 3]개의 극점을 가지는 사차함수이므로 [eqn: f(x)=h prime (x)=0]은 서로 다른 [eqn: 3]개의 실근을 갖는다.

ㄴ. [eqn: f'(0)<0]

ㄷ. [eqn: int _{m} ^{m+2} {f(x)} `dx=h(m+2)-h(m)]이다.

[eqn: h(2)=0=h(0)]  [eqn: THEREFORE ```h(2)-h(0)=0]

[eqn: h(3)<0<h(1)]  [eqn: THEREFORE ```h(3)-h(1)<0]

[eqn: h(4)<0=h(2)]  [eqn: THEREFORE ```h(4)-h(2)<0]

[eqn: h(5)=0>h(3)]  [eqn: THEREFORE ```h(5)-h(3)>0]

[eqn: h(6)>0>h(4)]  [eqn: THEREFORE ```h(6)-h(4)>0]

[eqn: h(7)>0=h(5)]  [eqn: THEREFORE ```h(7)-h(5)>0]

[eqn: h(8)=0<h(6)]  [eqn: THEREFORE ```h(8)-h(6)<0]

[eqn: h(9)<0<h(7)]  [eqn: THEREFORE ```h(9)-h(7)<0]

[eqn: m`geq8]이면 [eqn: h(m+2)<h(m)]이므로

[eqn: h(m+2)>h(m)]을 만족하는 자연수 [eqn: m]은

[eqn: m=3,```4,```5]의 3개이다.

[4점][2013년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 [eqn: 3]개의 실근을 갖는다. ㄴ. [eqn: f'(0)<0] ㄷ. [eqn: int _{m} ^{m+2} {f(x)} `dx>0]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 개수는 [eqn: 3]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+3) =f(x)]를 만족시키고,
[eqn: f(x)= cases{`x `````````````````````````&(0le x<1)_` #`1&(1 le x <2)^` _` #`-x+3 &(2 le x <3) ^`]
이다. [eqn: int_-a^a f(x)dx =13]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

①

그림에서 [eqn: int _{0} ^{3} {f(x)dx= {1} over {2} +1+ {1} over {2} =2}] [eqn: CDOTS `(ㄱ)]

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 [eqn: `y]축에 대하여 대칭이므로

[eqn: int _{-a} ^{a} {f(x)dx=2 int _{0} ^{a} {f(x)dx=13}}]

[eqn: THEREFORE int _{0} ^{a} {f(x)dx= {13} over {2} =6+ {1} over {2} =2 TIMES 3+ {1} over {2}}]

[eqn: =3 int _{0} ^{3} {f(x)dx`+ {1} over {2} `````````( BECAUSE (ㄱ))}]

[eqn: = int _{0} ^{3 TIMES 3} {f(x)dx`+ int _{9} ^{10} {f(x)dx}}]

[eqn: = int _{0} ^{10} {f(x)dx}]

([eqn: BECAUSE]함수 [eqn: f(x)]의 주기가 3이고, [eqn: int _{9} ^{10} {f(x)dx= int _{0} ^{1} {f(x)dx= {1} over {2}}}] )

[eqn: THEREFORE a=10]

[4점][2015년 수능]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(-x)=it-f(x),~~g(-x)=g(x)]
를 만족시킨다. 함수 [eqn: h(x) =f(x)g(x)]에 대하여
[eqn: int_-3^3 {(x+5)h`prime(x)}dx=10]
일 때, [eqn: h(3)]의 값은?

①

[출제의도] 조건을 만족시키는 다항함수에 대하여 정적분의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: h LEFT ( -x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( -x RIGHT ) g LEFT ( -x RIGHT )]
[eqn: = it -f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = it -h LEFT ( x RIGHT )]

이므로 다항함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 원점에 대칭이고, [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이다.

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =a _{2n+1} x ^{2n+1} +a _{2n-1} x ^{2n-1} +···+a _{1} x]로 놓으면

[eqn: h' LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2n+1 RIGHT ) a _{2n+1} x ^{2n} + LEFT ( 2n-1 RIGHT ) a _{2n-1} x ^{2n-2} +···+a _{1}]

이므로 [eqn: h' LEFT ( -x RIGHT ) =h' LEFT ( x RIGHT )]를 만족시킨다.

[eqn: int _{-3} ^{3} {} LEFT ( xh' LEFT ( x RIGHT ) +5h' LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) dx]

[eqn: =2 int _{0} ^{3} {5h' LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: =10 LEFT [ h LEFT ( x RIGHT ) pile{it#it} RIGHT ] _{0} ^{3}]

[eqn: =10 LEFT ( h LEFT ( 3 RIGHT ) -h LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT )]

[eqn: 10 LEFT ( h LEFT ( 3 RIGHT ) -h LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT ) =10]에서

[eqn: h LEFT ( 3 RIGHT ) =h LEFT ( 0 RIGHT ) +1=0+1=1]

[4점][2016년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

이차함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: f(0)=0`]이고 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 45]

[출제의도] 정적분의 의미를 이해하여 함숫값을 구할 수 있는가?

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx` LEFT ( a != 0 RIGHT )]라 하자.

조건 (가)에 의하여

[eqn: int _{0} ^{2} {} LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx=4], [eqn: int _{0} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx= it -4]

이므로 구간 [eqn: LEFT [ 0,~2 RIGHT ]]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 0]이다.

또한, 조건 (나)에 의하여

[eqn: int _{2} ^{3} {} LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx= int _{2} ^{3} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx]

이므로 구간 [eqn: LEFT [ 2,~3 RIGHT ]]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4a+2b=0]

[eqn: THEREFORE ~b= it -2a]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} -2ax`]이므로

[eqn: int _{0} ^{2} {} LEFT ( ax ^{2} -2ax RIGHT ) dx]

[eqn: = LEFT [ {a} over {3} x ^{3} -ax ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2}]

[eqn: = {8} over {3} a-4a= it - {4} over {3} a= it -4]

[eqn: THEREFORE ~a=3]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -6x`]이므로

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =3 TIMES 5 ^{2} -6 TIMES 5=75-30=45]

(가) [eqn: int_0^2 {|`f(x)`|}dx =`-int_0^2{f(x)}dx =4]

(나) [eqn: int_2^3 {|`f(x)`|} dx=int_2^3{f(x)}dx]

[eqn: f(5)]의 값을 구하시오.

[4점][2016년 수능]

이차함수 [eqn: f``(`x`)``]가

[eqn: f(x)= { 12 } over { 7 } x^{ 2 }-2x int from { 1 } to { 2 } f(t)`dt`+ left { int from { 1 } to { 2 } { } f(t)dt `right } ^{ 2 }]

일 때, [eqn: 10 int from { 1 } to { 2 } { } f``(x`)`dx ``]의 값을 구하시오.

20

[eqn: int_1^2 f(t) dt =a`]로 놓으면 [eqn: f(x)= 12over7 x^2 -2ax +a^2`]

따라서 [eqn: a= int_1^2 f(x) dx =int_1^2 left( 12over7 x^2 -2ax+a^2 right) `dx`]

[eqn: =left[ 4over7 x^2 - ax^2 + a^2`x right]_1^2 `][eqn: =4-3a+a^2`]

∴[eqn: a^2 -4a+4=0`]에서 [eqn: a=2`]

∴[eqn: 10 int_1^2 f(x) dx =10a =20`]

[3점][2005년 9월]

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: y`=`f``(x`)`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가)  [eqn: f``(0)=f``(6)=0`]

(나) 함수 [eqn: y`=`f``(`x`)`]의 그래프와 함수 [eqn: y`=-f``(`x-k`)`]의  그래프가 서로 다른  세 점 [eqn: (alpha,``f``(alpha`)`)`], [eqn: (beta,``f``(beta`)`)`], [eqn: (gamma,``f``(gamma`)`)`] (단,[eqn: alpha `＜` beta`＜` gamma``])에서 만나면 [eqn: k```]의 값에 관계없이 [eqn: INT _{ alpha}^{gamma } \{`f``(`x`) +f``(`x-k`) \}dx``=`0`]이다.

함수 [eqn: y=f``(`x`)``]의 그래프와 함수 [eqn: y=-f``(`x-k`)`]의 그래프가 다음 그림과 같이 서로 다른 세 점에서 만나고 가운데 교점의 [eqn: x```]좌표의 값이 [eqn: 4`]일 때, [eqn: INT _{ 0}^{k } f``(`x`)`dx``]의 값을 구하시오.

16

[eqn: f(x)=x(x-p)(x-6) ``] ([eqn: 0<p<6])으로 놓을 수 있다.

이 때, [eqn: k]의 값에 관계없이 [eqn: int_α^γleft{ f(x)+f(x-k)right} dx = 0] 이어야 하므로 [eqn: k=0]일 때 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=-f(x)]의 그래프의 교점은 [eqn: (0, ~0), ~(p, ~0), ~(6, `0)]이다.

따라서 [eqn: int_α^γ left{ f(x) +f(x)right}dx = 2int_0^6 f(x) dx = 0 ``]이다.

즉,[eqn: f(x)=x(x-p)(x-6) ``]는 점[eqn: (`0`,`p`)`]에 대하여 대칭이다. [eqn: x(x-p)(x-6) `=`-`(`2p-x)(2p-x-p)(2p-x-6)]  [eqn: `=`(`x-2p+6)(x-p)(x-2p)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: -2p`+`6`=`0`]

[eqn: THEREFORE]  [eqn: p=3 ``]

[eqn: f(x)=x(x-3)(x-6) ``]이고, [eqn: x=`4`]에서 두 곡선이 만나므로

[eqn: f`(`4`)`=`-f`(`4`-`k`)`~]

[eqn: 4(4-3)(4-6)`=`-`(`4`-`k)`(`4`-`k`-3`)`(`4`-`k`-`6`) ``]

[eqn: `=~`(`4`-`k)`(`1`-`k`)`(`2`+`k`) ``]

∴   [eqn: k`=`2 ``]

∴ [eqn: int_0^k f(x) dx= int_0^2 x(x-3)(x-6)dx ``]

[eqn: = int_0^2 (x^3 -9x^2 +18x )dx ``]

[eqn: =left[ x^4 over 4 - 3x^3 +9x^2 right]_0^2 ``][eqn: =16 ``]

[4점][2005년 9월]

양수 [eqn: a `]에 대하여 삼차함수 [eqn: f``(x`) = -x(x+a`) (x-a`)`]의 극대점의 [eqn: x `]좌표를 [eqn: b`]라 하자.
[eqn: int from -b to a f``(x`) `dx = A],     [eqn: int from b to a+b f``(x - b` )` dx = B]
일 때, [eqn: int from -b to a |` f``(x`)`|` dx `]의 값은?

①

[eqn: y= f``(x)`]의 그래프와 [eqn: y= f``(x-b)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: y=f``(x)]

[eqn: -b]

[eqn: b]

[eqn: -a]

[eqn: a]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: y=f``(x-b)]

[eqn: -a+b]

[eqn: 2b]

[eqn: b]

[eqn: a+b]

[eqn: int_-b^a ``f``(x)``dx = A`]

[eqn: int_a^a+b `f```(x-b) `dx = int_0^a`f``(x) `dx = B`]

∴ [eqn: int_-b^0 `f``(x)`dx` = int_-b^a`f``(x)`dx - int_0^a``f``(x)`dx`] [eqn: = A-B`]

∴ [eqn: int_-b^a``|`f``(x)`|`dx `]

[eqn: = int_-b^0 `left{ -f``(x)`right}`dx + int_0^a`f``(x)``dx`][eqn: = - (A-B) + B`][eqn: = -A+2B`]

[3점][2006년 9월]

① [eqn: -A+2B]	② [eqn: -2A+B]	③ [eqn: -A+B]

④ [eqn: A+B]	⑤ [eqn: A+2B]

함수 [eqn: f_n (x)= left(nx- sum _{ k=1} ^{n }`a_k right)^2]가 [eqn: int _{0} ^{1} {f_n`` prime (x)dx=`-n ^{3}}]을 만족할 때, <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

(단, [eqn: a _{1} `,````a _{2} `,````a _{3} `,```` CDOTS ``,````a _{n} `]은 상수)

④

[eqn: f _{n} (x)= LEFT ( nx- sum _{k=1} ^{n} `a _{k} RIGHT ) ^{2} =LEFT ( nx- S_n RIGHT ) ^{2}]

ㄱ. [eqn: sum _{k=1} ^{n}`a_k =S_n]라 하면 [eqn: f_n (1) - f_n (0) =-n^3] 에서
[eqn: (n-S_n )^2 -S_n ^2 =-n^3],  [eqn: S_n = {n(n+1) } over {2 }] (참)

ㄴ. [eqn: n=2] 일 때, [eqn: f_2 ``(x)= left(2x - 3 right)^2]

[eqn: f_2 ``(2)= 1] (거짓)

ㄷ. [eqn: f_n (x) =left{nx- { n(n+1)} over { 2} right}^2]는 [eqn: x= { n+1} over { 2}]에 대하여 대칭이므로

[eqn: int _{``0} ^{n+1} {} ``f _{n} (x)dx= 2 int _{``0} ^{{n+1}over {2}} {} ``f _{n} (x)dx] (참)

[[eqn: 4`]점][2007년 7월]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: sum _{ k=1} ^{n }`a_k = {n(n+1)} over {2}] ㄴ. [eqn: f _{2} (2)=3] ㄷ. [eqn: int _{0} ^{n+1} {} ``f_n (x)dx=` {2} int _{0} ^{{n+1} over {2}} {} ``f_n (x)dx`]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 만족할 때, [eqn: f(0)]의 값은?

⑤

조건Ⅰ의 식을 미분하면

[eqn: f(x)=2f(x)f``'(x)]

[eqn: f` prime (x)= {1} over {2}]   [eqn: THEREFORE f(x) = 1 over2 x + C `]

조건Ⅱ의 식에 대입하여 풀면 [eqn: C=25]

따라서 [eqn: f(0)=25]

[[eqn: 3]점][2008년 7월]

Ⅰ. [eqn: int _{} ^{} {f(x)dx} = LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}]

Ⅱ. [eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)dx} =50]

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

함수 [eqn: f(x)= {cases{-1&~~(x<1)#-x+2&~~(x GEQ 1)}}] 에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x)= int _-1 ^x {(t`-1) f`(t`)`dt}]
라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

(ⅰ) [eqn: x<1]일 때,

[eqn: g(x)`= int _{-1} ^{x} {(t-1)f(t)dt}] [eqn: = int _{-1} ^{x} {(t-1)(-1)dt}]

[eqn: = LEFT [ - {t ^{2}} over {2} +t RIGHT ] _{-1} ^{x}] [eqn: =- {x ^{2}} over {2} +x+ {3} over {2}]

(ⅱ) [eqn: x >= 1]일 때,

[eqn: g(x)`= int _{-1} ^{x} {(t-1)f(t)dt}]

[eqn: = int _{-1} ^{1} {(t-1)(-1)dt} + int _{1} ^{x} {(t-1)(-t+2)dt}]

[eqn: = LEFT [ - {t ^{2}} over {2} +t RIGHT ] _{-1} ^{1} + LEFT [ - {t ^{3}} over {3} + {3} over {2} t ^{2} -2t RIGHT ] _{1} ^{x}]

[eqn: =- {x ^{3}} over {3} + {3} over {2} x ^{2} -2x+ {17} over {6}]

ㄱ. 구간 [eqn: (1,``2)]에서

[eqn: g'(x)=-x ^{2} +3x-2=-(x-1)(x-2)]에서

[eqn: g'(x)>0]이므로 [eqn: g(x)]는 증가한다. <참>

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1+} {{g(x)-g(1)} over {x-1}} =0], [eqn: lim _{x -> 1-} {{g(x)-g(1)} over {x-1}} =0]

이므로 [eqn: x=1]에서 미분가능하다. <참>

ㄷ. [eqn: x<1]일 때, [eqn: g'(x)=-x+1]

[eqn: x>1]일 때, [eqn: g'(x)=-(x-1)(x-2)]

이므로 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 아래 그림과 같다.

따라서 방정식 [eqn: g(x)=k]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 [eqn: k]가 존재하지 않는다.<거짓>

[eqn: y=g(x)]

[eqn: {3} over {2}]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: {17} over {6}]

[eqn: y=k]

[eqn: x]

[4점][2008년 9월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g(x)]는 구간[eqn: (1,``2)]에서 증가한다. ㄴ. [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하다. ㄷ. 방정식 [eqn: g(x)=k`]가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k`]가 존재한다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 다항함수 [eqn: f(`x)], [eqn: g(`x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여

(가) [eqn: f(`x)`g(`x)=x ^{3} +3x ^{2} -x-3]

(나) [eqn: f ` prime (`x)=1]

(다) [eqn: g(`x)=2 int _{1} ^{x} {} f(t)`dt]

[eqn: int _{0} ^{3} {} 3`g(`x)`dx]의 값을 구하시오.

27

(가)에서 [eqn: f(x)g(x)=(x-1)(x+1)(x+3)]

(다)에서 [eqn: g` prime (x)=2f(x)], [eqn: g (1)=0]이므로

[eqn: f(x)=x+1,`~g(x)=(x-1)(x+3)] ([eqn: because][eqn: f` prime(x)=1] )

[eqn: therefore] [eqn: int_0^3 3 g(x) dx][eqn: = int_0^3 3 (x^2 + 2x-3) dx][eqn: = 27]

[4점][2008년 10월]

실수 전체의 집합에서 연속이고 [eqn: f(0)=0`]인 함수 [eqn: y=f(x)`]의 도함수 [eqn: f` prime (x) `]가

[eqn: f` prime (x)=` LEFT | ``x`` RIGHT |]

이다. 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

[eqn: f(x)= {cases{```````` {1} over {2} `x ^{2}&`(x >= 0)#`- {1} over {2} x ^{2}&`(x<0)}} ``]이므로

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 0+} {{f`(x)} over {x}} = lim _{x -> 0+} {{{1} over {2} x ^{2}} over {x}} = lim _{x -> 0+} {{1} over {2} x`} =0]

[eqn: lim _{x -> 0-} {{f`(x)} over {x}} = lim _{x -> 0-} {{- {1} over {2} x ^{2}} over {x}} = lim _{x -> 0-} {LEFT ( - {1} over {2} x RIGHT )} =0]

[eqn: THEREFORE `````]참

ㄴ. [eqn: lim _{x -> sqrt {2} +} {g(f(x))= lim _{t -> 1+} {g(t)=2}} ``]이고

[eqn: lim _{x -> sqrt {2} -} {g(f(x))= lim _{t -> 1-} {g(t)=1}} ``]이므로

[eqn: THEREFORE `````]거짓

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 1+} {g(g(x))= lim _{t -> 2-} {g(t)=1}}]

[eqn: lim _{x -> 1-} {g(g(x))=1}]

[eqn: lim _{x -> 1} {`g(g(x))=1``}]이고 [eqn: g`(`g(1))=1``]이므로

[eqn: x=1``]에서 연속이다. [eqn: THEREFORE `````]참

[[eqn: 4`]점][2010년 7월]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: lim _{x `->` 0} {{f(x)} over {x}} =0] ㄴ. [eqn: lim _{x` -> ` sqrt {2}} {} `g(f(x))=1] ㄷ. 합성함수 [eqn: y= `{g(g(x))`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 이차함수 [eqn: y=f(x)`]가 다음 조건을 만족한다.

	(가) [eqn: f(0)=`-2`] (나) [eqn: f(-x)=f(x)`] (다) [eqn: f(f`'(x))`=`f`'`(f(x))``]

함수 [eqn: F(x)`= int _{} ^{} {f(x)`dx} `]가 감소하는 구간의 길이는?

①

조건 (나)에 의하여 [eqn: f`(x`)=a`x ^{2} +b``]라 하면

[eqn: f(0)=`-2``]이므로 [eqn: b=-2``]

[eqn: f`(x)=ax ^{2} -2] , [eqn: f` prime (x)=2ax``]

[eqn: f(f` prime (x))`=`f` prime `(f(x))``]이므로 [eqn: a= {1} over {2} `]이다.

따라서 [eqn: f(x)= {1} over {2} `x ^{2} -2``]이다.

[eqn: F``(x)``]가 감소하는 구간은 부등식 [eqn: F``` prime (x)＜0]

즉, [eqn: f`(x)<0``]을 만족하는 구간이므로

[eqn: {1} over {2} x ^{2} -2``＜``0``], [eqn: -2`＜`x＜2``]

[eqn: THEREFORE`````]감소하는 구간의 길이는 [eqn: 4]

[[eqn: 3`]점][2010년 7월]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

두 함수 [eqn: f(x)=x^2 -4x `]와 [eqn: y=g(x)`]가 임의의 실수 [eqn: `h`]에 대하여 [eqn: g(x+h)-g(x) = int _{ x} ^{x+h }` {f(t) }``dt `]일 때, 방정식 [eqn: g(x)`=0`]의 모든 근의 합은?

①

[eqn: {g(x+h)-g(x)} over {h} = {1} over {h} int _{x} ^{x+h} {f(t)dt}]

위 식의 양변에 극한을 취하면

[eqn: lim _{h -> 0} {} {g(x+h)-g(x)} over {h} `=` lim _{h -> 0} {} {1} over {h} int _{x} ^{x+h} {f(t)dt}]

[eqn: g`{prime}(x)=f(x)``]이므로

[eqn: g(x)= int _{} ^{} {f(x)dx} = int _{} ^{} {(x ^{2} -4x)} dx`][eqn: `= {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} +C]

[eqn: g`(x)=0`]이므로  [eqn: {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} +C``=0``]이다.

[eqn: therefore] 모든 근의 합 [eqn: 6]

[[eqn: 3`]점][2010년 7월]

① [eqn: 6]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{2} {xf LEFT ( tx RIGHT ) dx} =4t ^{2}]을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

④

[eqn: int_0 ^2 x f(tx) dx = 4t^2]에서

[eqn: tx = y`]로 놓으면

[eqn: t = dy over dx]에서 [eqn: dx = dy over t]

[eqn: x=0]일 때, [eqn: y=0]

[eqn: x= 2]일 때, [eqn: y= 2t] 이므로

[eqn: int_0 ^2 x f(tx) dx = int_0 ^2t y over t f(y) dy over t] [eqn: = 1over t^2 int_0 ^2t yf(y) dy][eqn: =4t^2]

∴ [eqn: int_0 ^2t y f(y) dy = 4t^4]

양변을 [eqn: t`]에 관하여 미분하면 [eqn: 2t f(2t) times (2t)`' = 16t^3]

∴ [eqn: f(2t) = 4t^2] ,∴ [eqn: f(2) = 4`]

[3점][2010년 9월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 전체의 집합에서 정의된 연속함수 [eqn: y=f`(`x`)``]의 그래프의 일부가 그림과 같다.

실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: g(`x`)``]를 [eqn: g`(`x`)=int_x^x+2 `f``(t`)`dt``]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

④

ㄱ. [eqn: g`(-1`)= int _{-1} ^{1} {} `f``(t`)`dt``=0] (참)

ㄴ. 함수 [eqn: g(x)`]는 개구간 [eqn: (`1,`2`)`]에서 증가한다. (거짓)

ㄷ. 방정식 [eqn: g(x)=2]의 실근은 [eqn: -4,][eqn: ``-2,][eqn: ``4,``6`]이므로

[eqn: -4-2`+`4`+`6``=`4`]이다. (참)

[4점][2010년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: g(-1)=0] ㄴ. 함수 [eqn: g(`x`)``]는 개구간 [eqn: (-2,~2)``]에서 감소한다. ㄷ. [eqn: -4<=x<=6``]에서 방정식 [eqn: g`(`x`)=2``]의 모든 실근의 합은 [eqn: 4``]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

연속함수 [eqn: f(`x`)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f`(`x`)`=`f`(`x`+`2`)``]이다.

(나) [eqn: int _{1} ^{{3} over {2}} {} `f`(2`x)`dx`=`7], [eqn: int _{1} ^{{4} over {3}} {} `f`(3`x)`dx`=1]

[eqn: int _{2001} ^{2012} {} f`(`x`)`dx``]의 값은?

④

[eqn: int _{ 1} ^{ 3over2} f`(2x) }dx=7]에서 [eqn: ``int _{ 2} ^{ 3} f(x) dx = 14]

[eqn: int _{ 1} ^{ 4over3} f`(3x) }dx=1]에서 [eqn: ``int _{ 3} ^{ 4} f(x) dx = 3]

[eqn: int _{2001} ^{2012} {} f`(`x`)d`x`= int _{1} ^{12} {} ``f`(`x`)dx][eqn: =`` int _{1} ^{2} {} f`(`x`) dx][eqn: + 5 int _{2} ^{4} {} f`(`x`)dx][eqn: =88]

[3점][2010년 10월]

① [eqn: 65]	② [eqn: 71]	③ [eqn: 82]	④ [eqn: 88]	⑤ [eqn: 99]

[eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: int _{0} ^{x} {LEFT |` t-1 `RIGHT | `dt} ``=x`]의 양수인 실근이 [eqn: m+n sqrt {2}`]일 때, [eqn: m ^{`3} +n ^{3}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m`], [eqn: n`]은 유리수이다.)

[eqn: 9]

ⅰ) [eqn: x<1`]일 때, [eqn: int _{0} ^{x} {(-t+1)`dt=x}]이므로

[eqn: - {x ^{2}} over {2} +x=x`] [eqn: THEREFORE] [eqn: x=0`]

ⅱ) [eqn: x GEQ 1`]일 때,

[eqn: int _{0} ^{1} {(-t+1)`dt} `+ int _{1} ^{x} {(t-1)`dt} ``=x]

[eqn: {1} over {2} + LEFT ( {x ^{2}} over {2} -x+ {1} over {2} RIGHT ) =x`]

[eqn: x ^{2} -4x+2=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x=2+ sqrt {2} ( BECAUSE x GEQ 1)`]

ⅰ), ⅱ)에 의해 양수인 실근은 [eqn: x=2+ sqrt {2} `]이므로
[eqn: m=2], [eqn: n=1]이다.

따라서 [eqn: m ^{3} +n ^{3} =9]

[4점][2011년 4월]

모든 다항함수 [eqn: f(x)``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

①

ㄱ. [eqn: f(x)=x]라고 하면

[eqn: int _{ 0} ^{ 3} { x} dx = LEFT [ { 1} over { 2} x^2 RIGHT ]_0^3 = { 9} over {2 }]

[eqn: 3int _{ 0} ^{ 1} { x} dx = 3LEFT [ { 1} over { 2} x^2 RIGHT ]_0^1 = {3} over {2 }]

따라서 [eqn: int _{ 0} ^{ 3} { x} dx != 3int _{ 0} ^{ 1} { x} dx]  (거짓)

ㄴ. 정적분의 성질에 의하여 참이다.

ㄷ. [eqn: f(x)=x]라고 하면

[eqn: int _{ 0} ^{ 1} { x^2} dx = LEFT [ { 1} over {3} x^3RIGHT ]_0^1 = { 1} over {3 }]

[eqn: LEFT { int _{ 0} ^{ 1} { x} dx RIGHT }^2 = LEFT ( LEFT [ { 1} over { 2} x^2 RIGHT ]_0^1 RIGHT )^2 = {1} over {4 }]

따라서[eqn: int _{ 0} ^{ 1} { x^2} dx][eqn: != LEFT { int _{ 0} ^{ 1} { x} dx RIGHT }^2] (거짓)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ이다.

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: int from 0 to 3 f(x)`dx=3`int from 0 to 1 f(x)`dx] ㄴ. [eqn: int from 0 to 1 f(x)`dx=int from 0 to 2 f(x)`dx+int from 2 to 1 f(x)`dx] ㄷ. [eqn: int from 0 to 1 left{f(x) right}^2`dx= left{int from 0 to 1 f(x)`dx right}^2]

[4점][2011년 9월]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

상수함수가 아닌 다항함수 [eqn: f`(`x`)]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: int_1^x ``f`(`t`) `dt = left{ `f`(`x`) right}`^2]

을 만족시킬 때, [eqn: f`(`3`)]의 값은?

①

주어진 등식의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f`(`x`)`=``f `prime (`x`) `f(`x`)``+``f`(`x`)`f` prime (`x`)`]이므로

[eqn: f`(`x`) LEFT { `1-2`f` prime (`x`)` RIGHT } `=`0`]이다.

이때, 함수 [eqn: f(x)`]는 상수함수가 아닌 다항함수이므로 [eqn: f` prime (`x`)`=` {1} over {2} `]이다.

이때, [eqn: f`(`1`)`=`0`]이므로 [eqn: f`(`x`)`=` {1} over {2} x`-` {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f`(`3`)`=`1`]

[3점][2011년 10월]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: y=f`' LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm `O]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: y=f`' LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( -1 RIGHT ) `=f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) `=0]이고 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: 4], 극솟값이 [eqn: 0]일때, [eqn: f(3)]의 값은?

④

[eqn: f` prime (x)=a(x+1)(x-1)]([eqn: a>0])이므로

[eqn: x=`-1]에서 극댓값, [eqn: x=1]에서 극솟값을 가진다.

[eqn: LEFT . f(x)= int _{} ^{} {a(x+1)(x-1)dx} RIGHT .]

[eqn: LEFT . = int _{} ^{} {a(x ^{2} -1)} dx=a` LEFT ( ` {x ^{3}} over {3} -x` RIGHT ) `+C RIGHT .]  (단, [eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: f(-1)=a` LEFT ( `- {1} over {3} +1` RIGHT ) `+C=4]     [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: f(1)=a` LEFT ( ` {1} over {3} -1` RIGHT ) `+C=`0]          [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 의하여

[eqn: a=3], [eqn: C=2]이므로 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x`+2]이다.

따라서 [eqn: f(3)=20]

[4점][2012년 4월]

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

실수 전체에서 정의된 연속함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f(x)=f(x+4)`]를 만족하고
[eqn: f(x)= {cases{`-4x+2```&``(0 LEQ x<2)#`x ^{2} -2x+a``````&``(2 LEQ x LEQ 4)}}]
일 때, [eqn: int _{9} ^{11} {f(x)`dx}]의 값은?

②

[eqn: f(x)`=`f(x+4)]이므로 [eqn: f(0)=f(4)]이다.

[eqn: 2=16-8+a]

[eqn: a=-6]

[eqn: int _{9} ^{11} {f(x)`dx`} = int _{1} ^{3} {f(x)`dx}# ``````````= int _{1} ^{2} {(-4x+2)`dx`+ int _{2} ^{3} {(x ^{2} -2x-6)dx}}]

[eqn: =`- {26} over {3}]

[[eqn: 3]점][2012년 7월]

① [eqn: -8]	② [eqn: - {26} over {3}]	③ [eqn: - {28} over {3}]	④ [eqn: -10]	⑤ [eqn: - {32} over {3}]

함수 [eqn: f(x)`=` int _{} ^{} left{{d} over {dx} `(x ^{2} `-`6x)right} dx`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: 8`]일 때, [eqn: f(1)`]의 값을 구하시오.

12

[eqn: f(x) `=` x^2 -6x + C]

[eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: f(3)`=` -9 + C `=` 8]

[eqn: C ``=`17]

[eqn: f(x) `=` x^2 -6x +17]

[eqn: therefore ``f(1) ``=``12]

[[eqn: 4]점][2012년 7월]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x -> 1} {{ int _{1} ^{x} {f(t)`dt} `-f(x)} over {x ^{2} -1} =2} `]를 만족할 때, [eqn: f` prime (1)]의 값은?

①

극한값의 성질에 의하여

[eqn: int _{1} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) `dt-f LEFT ( 1 RIGHT ) =0}]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0],

[eqn: lim _{x -> 1} {{ int _{1} ^{x} {f(t)`dt} -f(x)} over {x ^{2} -1}][eqn: =lim _{x -> 1} {{ int _{1} ^{x} {f(t)`dt} `} over {x ^{2} -1} -` lim_{x->1} { { f(x)-f(1)} over { x^2 -1}]

[eqn: = {f(1)} over2 - {f'(1)} over {2} =2}]

[eqn: therefore] [eqn: f`'(1)`=-4]

[[eqn: 4]점][2012년 7월]

① [eqn: -4]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -2]	④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 0]

이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]가
[eqn: g(x)= int _{} ^{} {LEFT { x ^{2} +f(x) RIGHT } dx} ,~~f(x)`g(x)`=`-2x ^{4} +8x ^{3}]
을 만족시킬 때, [eqn: g`(1)]의 값은?

②

함수 [eqn: f(x)`]가 이차함수이므로

[eqn: f(x)= ax^2 +bx+c`] ([eqn: a!=0])라 하자.

[eqn: g(x)= int left{ x^2 + f(x) right} dx]

[eqn: = int left{ x^2 +ax^2 +bx+c right} dx]

[eqn: = int left{ (1+a)x^2 +bx+c right} dx]

[eqn: = 1over3 (1+a) x^3 + b over 2 x^2 + cx + C] [eqn: cdots㉠] ([eqn: C`]는 적분상수)

한편, [eqn: f(x) g(x) = (ax^2 +bx+c) g(x)][eqn: = -2x^4 +8x^3] [eqn: cdots ㉡]

이므로 [eqn: g(x)`]는 이차함수이다.

∴ [eqn: a=-1]

㉠, ㉡에서

[eqn: (-x^2 +bx+c) left( b over 2 x^2 + cx + C right)][eqn: = -2x^4 +8x^3]

[eqn: - b over 2 x^4 + left( b^2 over 2 -c right)x^3 + left( -C+bc+ bc over 2 right)x^2]

[eqn: + left(bC+c^2 ) x + c C][eqn: = -2x^4 +8x^3] 에서

[eqn: - b over 2 =-2], [eqn: b^2 over 2 -c =8],

[eqn: -C+bc+ bc over 2 =0], [eqn: cC=0]

∴ [eqn: b=4], [eqn: c=0], [eqn: C=0]

∴ [eqn: g(x)=2x ^{2}]

∴ [eqn: g(1)=2]

[4점][2012년 9월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 삼차함수 [eqn: y=f(x)`]가

①

[eqn: int _{0} ^{2} {f prime `(x)dx} `][eqn: =[f(x)] _{0} ^{2} `][eqn: =f(2)-f(0)`][eqn: =0-2`][eqn: =`-2`]

[eqn: f(-1)=f(1)=f(2)=0], [eqn: f(0)=2]

를 만족시킬 때, [eqn: int_0 ^2 f` prime (x) `dx`]의 값은?

[3점][2012년 10월]

[eqn: y=f(x)`]

[eqn: y]

[eqn: x]

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

그림은 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 일부이다.

①

[eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx} `= int _{0} ^{1} {2 LEFT ( 1-x RIGHT ) `dx} `+ int _{1} ^{2} {2 LEFT ( x-1 RIGHT ) `dx} `=2]

[eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx} `= int _{2} ^{4} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx} `=` CDOTS `=` int _{2 LEFT ( k-1 RIGHT )} ^{2k} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx} `=2]
이므로 [eqn: int _{0} ^{2k} {`f LEFT ( x RIGHT ) `dx} `=2k]([eqn: k]는 자연수)
[eqn: g LEFT ( k RIGHT ) `= int _{2k} ^{4k} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]

[eqn: = int _{0} ^{4k} {`f LEFT ( x RIGHT ) `dx} `- int _{0} ^{2k} {`f LEFT ( x RIGHT ) `dx} `=4k-2k=2k]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} g LEFT ( k RIGHT ) `=} lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} 2k}] [eqn: = lim _{n` -> ` INF } {` {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {n ^{2}}} `=1]

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=2` LEFT | `x-1` RIGHT |] [eqn: LEFT ( 0 LEQ x LEQ 2 RIGHT )]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT ) `=f LEFT ( x RIGHT )]이다.

[eqn: rmO]

[eqn: rm 1]

[eqn: rm 2]

[eqn: x]

[eqn: rm 2]

[eqn: y]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( k RIGHT ) `= int _{2k} ^{4k} {`f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {1} over {n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} `g LEFT ( k RIGHT )}]의 값은?

[4점][2013년 4월]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

167

함수 [eqn: f(x) ``]가 [eqn: (3,~7),~(4,~8),~(5,~10),~(6,~13)``]을 지나고

[eqn: 1 LEQ `f'(x)` LEQ 3]이므로

⑴ 두 점 [eqn: (3,~7)``], [eqn: (4,~8)``]의 기울기가 [eqn: 1``]이므로
[eqn: 3` leq x leq `4``]에서 [eqn: f(x) = x+ 4]

⑵ 두 점 [eqn: (5,~10),~(6,~13)``]의 기울기가 [eqn: 3``]이므로

[eqn: 5` leq x leq `6``]에서 [eqn: f(x) = 3x- 5]

⑶ 주어진 조건에 의해 [eqn: (4,~8)]과 [eqn: (5,~10)]을 지나는 함수는 이차함수이고

[eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c]

[eqn: f` prime (x)=2ax+b]

실수 전체의 집합에서 미분가능하므로

[eqn: f`'(4)=8a+b=1]

[eqn: f`'(5)=`-10a+b=3]

[eqn: a=1,~b=-7]

[eqn: f(4)=8]에서 [eqn: c=20]

⑴, ⑵, ⑶에 의해

[eqn: int _{3} ^{6} {`f(x)dx`]

[eqn: =][eqn: int_3 ^4 (x+ 4) dx + int _4 ^5 (x^2 - 7x + 20 ) d x + int_5 ^6 (3x-5 ) d x]

[eqn: = 167 over 6]

∴ [eqn: 6a`=`167]

(가) 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: 1 LEQ f'(x) LEQ 3``]이다.

(나) 모든 정수 [eqn: n``]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프는
점 [eqn: (4n,8n)``], 점 [eqn: (4n+1,~8n+2)``], 점 [eqn: (4n+2,~8n+5)`,]
점 [eqn: (4n+3,~8n+7)``]을 모두 지난다.

(다) 모든 정수 [eqn: k``]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [2k,~2k+1]``]에서 함수 [eqn: f(x)``]의 그래프는 각각 이차함수의 그래프의 일부이다.

[eqn: int _{3} ^{6} {`f(x)dx=a}``]라 할 때, [eqn: 6a``]의 값을 구하시오.

[4점][2014년 6월]

연속함수 [eqn: f(x)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

102

[eqn: int _{-3} ^{3} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: = int _{-3} ^{-1} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx`} + int _{-1} ^{1} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx`} + int _{1} ^{3} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx`}]

[eqn: =2 int _{1} ^{3} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx`} +2`]

[eqn: =2 int _{-1} ^{1} {(x+2) ^{2} f LEFT ( x+2 RIGHT ) dx`} +2`]

[eqn: =2 int _{-1} ^{1} {(x+2) ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx`} +2`][eqn: =102`]

	(가) [eqn: f(-x)=f(x)``]
	(나) [eqn: f(x+2)=f(x)`]
	(다) [eqn: int _{-1} ^{1} {(x+2) ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) ``dx=50`}], [eqn: int _{-1} ^{1} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) ``dx=2`}]

[eqn: int _{-3} ^{3} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx} `]의 값을 구하시오.

[4점][2014년 7월]

연속함수 [eqn: f(x)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

40

(가)에서 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프는 [eqn: y`]축 대칭

(다)에서 [eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT ( 2x+3 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) ``dx= int _{-1} ^{1} {3f LEFT ( x RIGHT ) ``dx=1}} 5]

이므로 [eqn: int _{-1} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) ``dx=5}]

(나)에 의해[eqn: int _{-6} ^{10} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =8 int _{-1} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=40`} `]

	(가) [eqn: f(-x)=f(x)``]
	(나) [eqn: f(x+2)=f(x)`]
	(다) [eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT ( 2x+3 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) }``dx=15]

[eqn: int _{-6} ^{10} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} `]의 값을 구하시오.

[4점][2014년 7월]

양수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {(t-a)(t-b)dt}] 가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+b]의 값은?

②

함수 [eqn: f`'`(x)=(x-a)(x-b)`]이고

(가)에서 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x= {1} over {2} `]에서 극값을 가지므로

[eqn: a= {1} over {2} `] 또는 [eqn: b= {1} over {2} `]

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) -f LEFT ( b RIGHT )]

[eqn: = int _{0} ^{a} {LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-b RIGHT ) dt} `-` int _{0} ^{b} {LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-b RIGHT ) dt}]

[eqn: = int _{0} ^{a} {LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-b RIGHT ) dt} `+` int _{b} ^{0} {LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-b RIGHT ) dt}]

[eqn: = int _{b} ^{a} {LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-b RIGHT ) dt}][eqn: =- {LEFT ( a-b RIGHT ) ^{3}} over {6} = {1} over {6}]

이므로 [eqn: b-a=1`]

[eqn: b= {`1} over {2} `]이면 [eqn: a=- {1} over {2} `]이므로 모순

따라서 [eqn: a= {1} over {2}]이고 [eqn: b= {3} over {2}]이므로 [eqn: a+b=2]

[4점][2014년 7월]

	(가) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= {1} over {2}]에서 극값을 갖는다. (나) [eqn: f(a)-f(b)= {1} over {6}]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 함수 [eqn: f(x) `]는 다음 조건을 만족시킨다.

②

주어진 조건에 의하여 함수 [eqn: f(x)`]는 주기가 [eqn: 2`]인 주기함수이므로

[eqn: g(a+4)-g(4)]

[eqn: = int _{-2} ^{a+4} {f(t)dt- int _{-2} ^{a} {f(t)dt]

[eqn: = int _{-2} ^{a+4} {f(t)dt}} + int _{a} ^{-2} {f(t)dt]

[eqn: = int _{a} ^{a+4} {f(t)dt `][eqn: = int _{0} ^{4} {f(t)dt `][eqn: = 2 int _{0} ^{2} {f(t)dt}`][eqn: =2`]

(가) [eqn: f(x+2) = f(x)]

(나) [eqn: f(x)=|``x``|`] ([eqn: -1 le x <1])

함수 [eqn: g(x) = int _{-2} ^{``x } {f(t)`dt }`]라 할 때,
실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: g(a+4)-g(a)`]의 값은?

[4점][2014년 10월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f(x)`]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

①

[출제의도] 정적분으로 정의된 함수 이해하기

주어진 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)=f(x)+xf prime (x)-12x ^{3} `+4x]

[eqn: xf prime (x)=12x ^{3} `-4x]

[eqn: f prime (x)=12x ^{2} `-4]

[eqn: f(x)=4x ^{3} -4x+C] ([eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: x=1]일 때, [eqn: int _{1} ^{1} {f(t)dt=1․f(1)-3+2=0}]

[eqn: f(1)=1]이므로 [eqn: C=1]

따라서 [eqn: f(0)=1]

[eqn: int _{1} ^{x} {f(t)dt`=xf(x)- {3x ^{4}} + 2{x ^{2}}]

을 만족시킬 때, [eqn: f(0)]의 값은?

[4점][2015년 7월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: {f(x)=x(x+2)(x+4)}`]에 대하여, 함수 [eqn: g(x)= int _{2} ^{x} { f(t)` dt`}`]는 [eqn: x=alpha`]에서 극댓값을 갖는다. [eqn: g(alpha)`]의 값은?

⑤

[출제의도] 적분과 미분의 관계를 활용하여 주어진 문제를 해결한다.

[eqn: g prime (x)][eqn: =f(x)][eqn: =0`]을 만족하는 [eqn: x`]를 구하면

[eqn: x(x+2)(x+4)][eqn: =0`]에서 [eqn: x`][eqn: =`-4`], [eqn: -2`], [eqn: 0`]이므로

[eqn: x`][eqn: =`-2`]에서 [eqn: g(x)`]는 극댓값을 갖는다. [eqn: therefore`][eqn: alpha`][eqn: =`-2]

[eqn: g(alpha)`][eqn: = int _{2} ^{-2}f(t) dt}][eqn: = int _{2} ^{-2} {(t ^{`3} +6t ^{`2} +8 t)`dt]

[eqn: =`- 2 int _{0} ^{2} 6t ^{`2} `dt`}`][eqn: =`-2 LEFT [ 2 t ^{`3} RIGHT ] _{0} ^{2} `][eqn: =`- 32]

[4점][2015년 10월]

① [eqn: -28]	② [eqn: -29]	③ [eqn: -30]	④ [eqn: -31]	⑤ [eqn: -32]

[해설] 미적분1-(5)적분-(b)정적분