수 리 영 역

cos, sin법칙

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수 리 영 역

cos, sin법칙

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 평면, 공간도형-cos, sin법칙

성명			수험번호

16

오른쪽 삼각기둥에서 두 정사각형 [eqn: rmABFE]와 [eqn: rmCDEF]의 한 변의 길이는 [eqn: 1]이다.
[eqn: rm ANGLE AED= theta]일 때, 선분 [eqn: rmBD]의 길이를 [eqn: theta]의 함수로 나타낸 것은?

①

[eqn: TRIANGLE ADE`]에서 [eqn: bar AE =bar DE =1]

코사인 제[eqn: 2]법칙에 의하여

[eqn: bar AD =sqrt{1^2 +1^2 -2cdot1cdot1cos theta }][eqn: =sqrt{2-2cos theta }]

그림에서 [eqn: bar EF BOT bar AE ,] [eqn: bar EF BOT bar DE `]이므로 [eqn: bar EF BOT TRIANGLE ADE`]

따라서 [eqn: bar AB BOT bar AD `~( BECAUSE ~bar EF //bar AB )]

[eqn: bar AB =1]이므로 직사각형 [eqn: ABCD`]에서

[eqn: bar BD =sqrt{{bar AB}^2 +{bar AD}^2} = sqrt{1+2-2cos theta }][eqn: =sqrt{3-2cos theta }]

[3점][2000년 수능]

①　[eqn: SQRT { 3-2cos theta }]	②　[eqn: SQRT { 3+2cos theta }]	③　[eqn: SQRT { 3}]

④　[eqn: SQRT { 3-2sin theta }]	⑤　[eqn: SQRT { 3+2sin theta }]

정육면체 [eqn: \ABCD- \EFGH]에서 평면 [eqn: \AFG]와 평면[eqn: \AGH]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos ^{2} ` theta]의 값은?

③

한 모서리의 길이를 [eqn: a`]라 하고 [eqn: rmH,```F]에서 [eqn: rmbar {AG``}]에 그은 수선의 발을 M이라 하면 오른쪽 그림에서

[eqn: rm TRIANGLE AGH`][eqn: = {1} over {2} bar { \GH``}CDOT bar { \AH``}]

[eqn: = {1} over {2} rmbar {AG``} CDOT bar {HM``}]이고

[eqn: bar{rm AH} = sqrt {2a} ,``` bar{rm BH} =a], [eqn: bar{rm AG} = sqrt {3a}]이므로

[eqn: bar{rmHM} = {sqrt {6}} over {3} a= bar{rmFM}]

또, [eqn: bar{rm FH} = sqrt {2a}]에서

[eqn: cos `theta][eqn: =rm {bar {HM}^2 + bar {FM}^2 - bar {FH}^2} over {2 CDOT bar {HM``} CDOT bar {FM``}}]

[eqn: = {{6} over {9}a^2 + {6} over {9}a^2 - 2a^2 } over {2CDOT { SQRT { 6``} } over {3}a CDOT { SQRT { 6``} } over {3}a }^` = {-{6} over {9}a^2 } over {{12} over {9} a^2} = - {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE ```cos ^{2} theta = {1} over {4}]

[3점][2007년 수능]

[eqn: \E]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rm F it(c,```0)`], [eqn: rm F prime(-c,```0)`]인 타원
[eqn: x^2 over a^2 + y^2 over b^2 =1]이 있다. 타원 위에 있고 제[eqn: `2`]사분면에 있는 점 [eqn: rmP`]에 대하여 선분 [eqn: rm PF prime`]의 중점을 [eqn: rm Q`], 선분 [eqn: rm PF`]를 [eqn: 1:3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rm R`]라 하자. [eqn: angle rm PQR = pi over 2], [eqn: rm barQR `= root5], [eqn: rm bar RF`=9`]일 때,
[eqn: a^2 + b^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 양수이다.)

[eqn: 104]

[출제의도] 코사인법칙과 타원의 정의를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가?

직각삼각형 [eqn: rmPQR]에서

[eqn: {bar{rm PR}} = {1} over {3} {bar{rm PF}} =3]

이므로 [eqn: {bar{rm PQ}} = {bar{rm QF'}} =k]라 하면

[eqn: k ^{2} +5=9]

[eqn: THEREFORE ~k=2 LEFT ( BECAUSE ~k>0 RIGHT )]

이때

[eqn: {bar{rm PF'}} =2 TIMES 2=4]

[eqn: {bar{rm PF}} =3+9=12]
이고

[eqn: {bar{rm PF}} + {bar{rm PF'}} =12+4=16]

이므로 주어진 타원의 장축의 길이는 [eqn: 16]이다.

따라서 [eqn: 2a=16]이므로

[eqn: a=8]

직각삼각형 [eqn: rmPQR]에서 [eqn: ANGLE rm QPR= theta `]라 하면

[eqn: cos` theta = {2} over {3}]

따라서 삼각형 [eqn: rmFPF']에서 코사인 정리에 의해

[eqn: {bar{rm FF prime it}} ^{2}][eqn: =12 ^{2} +4 ^{2} -2 TIMES 12 TIMES 4 TIMES cos` theta]
[eqn: =160-96 TIMES {2} over {3}]
[eqn: =160-64=96]

[eqn: THEREFORE ~ {bar{rm FF'}} = sqrt {96} =4 sqrt {6}]

따라서 [eqn: c= {1} over {2} {bar{rm FF'}} =2 sqrt {6}]이므로

[eqn: a ^{2} -b ^{2} = LEFT ( 2 sqrt {6} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: b ^{2} =64-24=40]

[eqn: THEREFORE ~a ^{2} +b ^{2} =64+40=104]

[4점][2016년 수능]

같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n]이 있다. 직선 [eqn: l] 위의 두 점 [eqn: A], [eqn: B], 직선 [eqn: m] 위의 점 [eqn: C], 직선 [eqn: n] 위의 점 [eqn: D]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: barAB`=2sqrt2], [eqn: barCD=3]

(나) [eqn: barAC` BOT l], [eqn: barAC`=5]

(다) [eqn: barBD` BOT l], [eqn: barBD`=4sqrt2]

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

두 직선 [eqn: m], [eqn: n]을 포함하는 평면과 세 점 [eqn: A], [eqn: C], [eqn: D]를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: 15tan ^{2} theta]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT ( 단,`0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]

[eqn: 30`]

두 직선 [eqn: m,`n`]을 포함하는 평면을 [eqn: alpha`]라 하자.

[eqn: l``//`m,````l`//`n`]이므로 [eqn: l``// alpha `]이다.

직선 [eqn: l`] 위의 두 점 [eqn: rm A,``B`]에서 평면 [eqn: alpha`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm E ,``F`]라 하고, 선분 [eqn: rm FD`]와 직선 [eqn: m`]의 교점을 [eqn: rm G`]라 하자.

[eqn: bar{AB} `// bar{EF} `], [eqn: rm bar{EF} `// bar{CG}]이고,

[eqn: rm bar EF = bar CG = 2root2`]

이므로 직각삼각형 [eqn: rm DGC`]에서

[eqn: rm bar GD = root{ 3^2 - (2root2 )^2 } = 1`]

직각삼각형 [eqn: rm ABD`]에서

[eqn: rm bar AD = root{ ( 4 root2 )^2 + (2 root2 )^2 } = 2root10`]

삼각형 [eqn: rm ACD`]에서

[eqn: rm cos (∠ ACD ) = { 5^2 + 3^2 - (2 root10 )^2 } over { 2 cdot 5 cdot 3}` = - 1 over 5`]이므로

[eqn: rm sin ( ∠ ACD ) = root{ 1- left( - 1over 5 right)^2 } = { 2root6} over 5`]

따라서 삼각형 [eqn: rm ACD`]의 넓이는

[eqn: 1over 2 times 5 times 3 times {2root6} over 5 = 3root6`]이다.

[eqn: {rm bar EC} = a`], [eqn: {rm bar AE = bar BF } = b`]라 하면

[eqn: {rm bar FD} = a+1`]이고,

삼각형 [eqn: rm AEC`]에서 [eqn: a^2 + b^2 = 25`] [eqn: cdots ㉠`]

삼각형 [eqn: rm BFD`]에서 [eqn: (a+1)^2 + b^2 = 32`][eqn: cdots㉡`]

㉡-㉠에서 [eqn: 2a+1 = 7`], [eqn: a=3`]

삼각형 [eqn: rm ACD`]의 평면 [eqn: alpha`] 위로의 정사영은 삼각형 [eqn: rm ECD`]이고,

삼각형 [eqn: rm ECD`]의 넓이는

[eqn: 1over 2 times {rm bar EC times bar CG } = 1over 2 times 3 times 2root2 = 3root2`]

따라서, [eqn: 3root6 `times cos theta = 3root2`]에서

[eqn: cos theta = 1over root3`]

∴ [eqn: tan^2 theta = sec^2 theta -1`] [eqn: = 1over { cos^2 theta } -1`]

[eqn: = 3-1`][eqn: = 2`]

∴ [eqn: 15 `tan^2 theta = 30`]

[4점][2010년 9월]

정사면체 [eqn: rmABCD`]에서 두 모서리 [eqn: rmAC`], [eqn: rmAD`]의 중점을 각각 [eqn: rmM`], [eqn: rmN`]이라 하자. 직선 [eqn: rmBM`]과 직선 [eqn: rmCN`]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta`]라 할 때, [eqn: cos `theta`=`q overp `]이다. [eqn: p +q`]의 값을 구하시오.(단, [eqn: p`]와 [eqn: `q`]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 7]

[출제의도] 두 직선이 이루는 각의 크기를 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

선분 [eqn: rm AN]의 중점을 [eqn: rm P]라 하면 두 직선 [eqn: rm CN], [eqn: rm MP]가 서로 평행하므로 두 직선 [eqn: rm BM], [eqn: rm CN]이 이루는 각의 크기는 두 직선 [eqn: rm BM], [eqn: rm MP]가 이루는 각의 크기와 같다.

이때, [eqn: rm bar AB = 4]라 하면 [eqn: rm bar BM = 2root3], [eqn: rm bar MP = root3]이고,

직각삼각형 [eqn: rm BNP]에서 [eqn: rm bar{BP} = sqrt {13}]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm BMP]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: cos theta~][eqn: rm = left| { {{bar BM } ^{2} +{ bar{ MP} } ^{2} } - { bar BP} ^{2} } over {rm 2 {bar BM} cdot bar{MP } } right|][eqn: =` {1} OVER 6]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `p+q=6+1=7]

[4점][2011년 10월]

반지름의 길이가 [eqn: 2``]인 구의 중심 [eqn: O``]를 지나는 평면을 [eqn: alpha``]라 하고, 평면 [eqn: alpha``]와 이루는 각이 [eqn: 45 DEG]인 평면을 [eqn: beta``]라 하자. 평면 [eqn: alpha``]와 구가 만나서 생기는 원을 [eqn: C_1], 평면 [eqn: beta``]와 구가 만나서 생기는 원을 [eqn: C_2``]라 하자. 원 [eqn: C_2``]의 중심 [eqn: A``]와 평면 [eqn: alpha``]사이의 거리가 [eqn: root6 over 2 ``]일 때, 그림과 같이 다음 조건을 만족하도록 원 [eqn: C_1``]위에 점 [eqn: P], 원 [eqn: C_2``]위에 두 점 [eqn: Q], [eqn: R``]를 잡는다.

(가) [eqn: angle QAR= 90DEG]

(나) 직선 [eqn: OP``]와 직선 [eqn: AQ``]는 서로 평행이다.

평면 [eqn: PQR``]와 평면 [eqn: AQPO``]가 이루는 각을 [eqn: theta``]라 할 때, [eqn: cos^2 ``theta= q over p ``]이다. [eqn: p+q``]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p``]와 [eqn: q``]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 10]

[eqn: triangle PQR``]을 평면 [eqn: AQPO``]에 정사영한 도형은 [eqn: triangle PQA``]
따라서 [eqn: cos``theta= {triangle PQA`의 ```넓이} over {triangle PQR`의 ```넓이}]
[eqn: bar{OA``} bot beta``]에서 [eqn: angle OAT``=90DEG]이고
[eqn: triangle AOS``]는 직각이등변삼각형이므로 [eqn: bar{OA``}= root3]
[eqn: bar{QA``}= 1``]이므로 [eqn: therefore```][eqn: triangle PQA``]의 넓이는 [eqn: root3 over 2]
직각이등변삼각형 [eqn: ARQ``]에서 [eqn: bar{QR``}=root2]
직각삼각형 [eqn: PQU``]에서 [eqn: bar{PQ``}=2]
[eqn: bar{OP``} bot triangle OAR``]이므로 [eqn: bar{OP``} bot bar{OR``}``]
직각삼각형 [eqn: OPR``]에서 [eqn: bar{PR``}=2root2]
[eqn: triangle PQR``]에서 [eqn: anglePRQ=gamma``]라 하면
[eqn: cos``gamma``= {8+2-4} over 8 = 3 over 4], [eqn: sin``gamma``=root{1-left(3 over 4 right)^2} = root7 over 4]
[eqn: therefore```][eqn: triangle PQR``]의 넓이는 [eqn: 1 over 2 cdot 2root2 cdot root2 cdot sin``gamma = root7 over 2]
[eqn: cos``theta = {root3 over 2} over {root7 over 2 } = root3 over root7]   [eqn: therefore```cos^2 ``theta= 3 over 7]
[eqn: therefore```p+q=10]

[4점][2012년 5월]

중심이 [eqn: rm`C`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3`]인 구와 구 위의 한 점 [eqn: rm`A`]가 있다. 구 밖의 한 점 [eqn: rm`B`]를 [eqn: bar{rm AB} =6`]이고 [eqn: bar{rm CB} =5`]가 되도록 잡는다. 점 [eqn: rm P`]가 이 구 위를 움직일 때, 두 벡터 [eqn: vec{rm BA}`,~vec{rm BP}`]의 내적 [eqn: vec{rm BA}`cdot vec{rm BP}`]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

52

[eqn: rm vec{BA} ` CDOT ` vec{BP} = rm vec{BA`} CDOT ( vec{BC`} + vec{CP} )][eqn: = rm vec{BA`} CDOT vec{BC`} + vec{BA`} CDOT vec{CP} ``]

[eqn: rm =6 CDOT 5 CDOT {36+25-9} over {2 CDOT 6 CDOT 5} + vec{BA`} CDOT vec{CP} =26+ vec{BA`} CDOT vec{CP}]

그런데 최대일 때의 점 [eqn: rm P]를 [eqn: rm`P _{M}], 최소일 때의 점 [eqn: rm P]를 [eqn: rm`P _{m}]이라 하면 [eqn: vec{rm `CP _{M}}], [eqn: vec{rm `CP _{m} it}]은 [eqn: vec{rm `BA it}]와 평행하고 방향이 반대이므로 [eqn: rmvec{BA`} CDOT vec{CP_M} `+ rmvec{BA`} CDOT vec{CP_m} `=0]

[eqn: rm vec{BA} ` CDOT ` vec{BP}]의 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 26+26=52]

[4점][2012년 10월]

한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정육면체 [eqn: rm ``ABCD`-`EFGH``]와 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {2}]이고 높이가 [eqn: 2]인 원기둥이 있다. 그림과 같이 이 원기둥의 밑면이 평면 [eqn: rm ABCD]에 포함되고 사각형 [eqn: rm ABCD]의 두 대각선의 교점과 원기둥의 밑면의 중심이 일치하도록 하였다. 평면 [eqn: rm ABCD]에 포함되어 있는 원기둥의 밑면을 [eqn: alpha], 다른 밑면을 [eqn: beta]라 하자.
평면 [eqn: rm AEGC]가 밑면 [eqn: alpha]와 만나서 생기는 선분을 [eqn: rm bar{MN}], 평면 [eqn: rm BFHD]가 밑면 [eqn: beta]와 만나서 생기는 선분을 [eqn: rm bar{PQ}]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm MPQ]의 평면 [eqn: rm D EG] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: {b} over {a} sqrt {3} `]이다. [eqn: a ^{2} +b ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 서로소인 자연수이다.)

13

[출제의도] 정사영을 이용하여 수학외적 문제해결하기

[eqn: rm {{M}} ` prime `]

원기둥의 밑면 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 중심을 각각 [eqn: rmR], [eqn: rm S]라 하자.

[eqn: rm {bar{PQ}} □ {bar{DB}}]이고, [eqn: rm {bar{SM}} □ {bar{RG}}]이므로 평면 [eqn: rmMPQ`]와 평면 [eqn: rmGDB`]는 평행하다.

삼각형 [eqn: rm GDB`]와 삼각형 [eqn: rm D EG `]는 모두 정삼각형이고 두 삼각형이 만나서 생기는 선분은 [eqn: rm bar{DG}]이다. 선분 [eqn: rm {{DG}}]의 중점을 [eqn: rm M`']이라 하고 [eqn: theta = rm ANGLE BM`'E]라 하면

[eqn: rm {bar{BM`'}} = {bar{EM`'}} =2 sqrt {6}], [eqn: rm bar{BE} =4 sqrt {2}]이므로

삼각형 [eqn: rm BM`'E]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos` theta ` & =cos( rm ANGLE BM`'E)= {24+24-32} over {2·2 sqrt {6} ·2 sqrt {6}} = {1} over {3}]

삼각형 [eqn: rm MPQ]의 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S= {2 sqrt {2} TIMES sqrt {6}} over {2} =2 sqrt {3}]이므로

삼각형 [eqn: rm MPQ]의 평면 [eqn: rm D EG] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: S`cos` theta ``=2 sqrt {3`} TIMES {1} over {3} = {2 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: a=3`], [eqn: b=2`]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =13`]

[4점][2014년 7월]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm D]

[eqn: rm C]

[eqn: rm H]

[eqn: rm G]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm M]

[eqn: rm N]

한 모서리의 길이가 [eqn: 4`]인 정사면체 [eqn: rm ABCD`]에서 선분 [eqn: rm AD`]를 [eqn: 1:3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rm P], [eqn: 3:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. 두 평면 [eqn: rm PBC`]와 [eqn: rm QBC`]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta `]라 할 때, [eqn: cos` theta = {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 16]

[출제의도] 이면각의 정의를 이해하여 이면각의 크기를 구한다.

두 선분 [eqn: rmBC`], [eqn: rmAD`]의 중점을 각각 [eqn: rmM`], [eqn: rmN`]이라 하면, [eqn: rm {bar{AM}} = {bar{DM}} =2 sqrt {3}`]이므로 [eqn: rm {bar{MN}} =2 sqrt {2}]

[eqn: rm {bar{PN}} = {bar{QN}} =1`]이므로 [eqn: rm {bar{PM}} = {bar{QM}} =3]

[eqn: theta = rm ANGLE PMQ`]이고, [eqn: rm {bar{PQ}} =2`]이므로

[eqn: cos` theta = {3 ^{`2} +3 ^{`2} -2 ^{`2}} over {2 TIMES 3 TIMES 3} = {7} over {9}], 따라서 [eqn: p+q=16]

[4점][2015년 10월]

[해설] 기벡-(7)평면,공간도형-cos, sin법칙